探究活跃在高考中的函数零点问题

摘 要：文章以提高学生数学学习能力为前提，分析高考中的函数零点问题，分别从高中阶段的函数零点问题、求解思路、例题解析与经验总结四个方面展开讨论，分析求解函数零点问题的有效方法，要求灵活应用数形结合、函数与方程、转化与化归、分类讨论思想，以期能够更加高效且准确的解得函数零点问题答案。

关键词：高考;函数零点;数形结合;分类讨论

现如今高考中所涉及的知识点，对于导数相关内容的考查不断深入，也将函数零点问题相关命题空间、解题空间拓展，使得现阶段高考中的函数零点问题难度与深度相继增加。关于问题涉及的背景、结构等也越来越新颖。一般函数零点问题会设计在解答题、客观题之后，是现如今高考中的亮点。

一、 高考函数零点问题讨论

高中数学涉及的函数零点问题，是新课标基础上新增考查内容之一，即“当f（x）=0时，对应自变量x的值。”其中需要注意，零点指代的是数值，而非一个点，换言之就是函数和x轴交点横坐标，涉及覆盖知识范围广、相关知识点多，同时又具有较强的综合性，其中包括数形结合、函数与方程、转化与化归、分类讨论这四种数学思想方法，可以了解学生数学思维以及解题能力。

因为高考中对于导数知识的考查不断深入，函数零点问题在命题与解题方面空间范围也越来越广，使得学生面临的函数零点问题难度增加，问题本身的深度与广度也相继拓展。对于数学教材中涉及的函数零点相关知识，需要在日常教学中带领学生进行分析与讨论，总结函数零点问题多元化解法和处理方式，能够在今后解答相关问题时更加高效且准确的得出最终结果。

二、 函数零点问题求解思路

高中数学学科中零点是最为常见的考查知识点，针对函数零点问题的解答思路，主要可以总结为以下三个方面。

（一）函数零点存在性

“若函数y=f（x）在区间[a，b]中图象是连续不断的曲线，且f（a）f（b）<0，那么函数y=f（x）在区间[a，b]中有零点，即存在实数C∈（a，b），使得f（c）=0，其中c也是方程f（x）=0的根。”按照函数零点存在性的定理，对函数所在区间内是否有零点存在，或者某一区间中方程是否有根存在，学生在求解时务必要关注“函数零点存在性定理为函数存在零点的充分不必要条件”，在掌握这一要素之后完成函数零点问题的求解。

例1 已知f（x）定义在R上，是周期为3的奇函数，如果x∈0，32，此时f（x）=ln（x2-x+1），由此确定函数f（x）在区间[0，6]上零点的个数为（）

解析：根据题意知函数f（x）是奇函数，区间[0，6]上必然会有f（0）=0。当x∈0，32，通过已知条件f（x）=ln（x2-x+1）=0，得出x2-x+1=1。即x2-x=0，解得x=1。函数f（x）是周期为3的奇函数，因此f（0）=f（3）=f（6）=0。在区间[0，6]上，共有三个零点，即0、3、6。f（1）=f（4）=f（-1）=f（2）=f（5）=0，此时区间[0，6]上的零点个数为4，包括1、2、4、5。如果x=32，

那么f32=f32-3=f-32=-f32，由此可以确定f32=0，即f32=f32-3=f92=0。这时区间[0，6]上的零点个数为2，即32、92。总计函数f（x）的零点个数为9个，选择D。

（二）函数零点求解个数

根据函数零点存在性定理要求，只能够对零点存在性进行判断，无法确定函数零点的数量。那么要想得知函数零点数量，建议构造相应的函数方程式，绘制函数图象，根据函数性质完成求解。主要分为两种情况：（1）针对陌生函数零点数量的求解。如果学生面对不熟悉的函数零点问题，建议将已知函数分解，转化为两个熟悉度高的函数方程，随后再通过构造函数法，将其化归成为“求解两个熟悉函数图象中交点数量”的问题，便可以降低问题求解难度，进而得出函数零点个数;（2）针对一元高次函数。面对一元高次函数的相关问题，学生可以使用导数法绘制函数图像，明确图象和x轴交点，进而完成函数零点问题的求解。

例2 已知f（x）的定义域为R，且为偶函数，满足任意x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），如果x∈[2，3]，此时f（x）=-（x-2）2+1。如果函数y=f（x）-

ax-1112在（0，+∞）这一区间内有3个零点，求解实数a的取值范围是（）

解析：由題意知函数f（x）为偶函数，如果x=-1，f（-1+2）=f（-1）-f（1），即f（1）=0，所以f（x+2）=f（x）。由此也可以确定函数f（x）属于周期为2的周期函数，并且是偶函数。f（x）-ax-1112=0，得出f（x）=ax-1112可知函数f（x）图象和函数y=ax-1112图象共有3个交点。为了保证两个函数图象上有3个交点，直线斜率a要在2条切线斜率中间。y=ax-1112

如果x∈[1，2]，f（x）=-（x-2）2+1，将公式y=ax-1112代入其中进行化简，得出公式x2+（a-4）x+3-11a12=0，判别式（a-4）2-4（3-11a12），求解得出a值为43或3（舍）。同理，如果x∈[3，4]，那么f（x）=-（x-4）2+1，在该公式中代入y=ax-1112并化简，并且判别式为0，求解a值为13或12（舍）。由此可以确定实数a的取值范围为13，43，答案B为正确选项。

（三）函数零点与方程根的求解

针对一些比较特殊的函数，学生可以按照方程式特点搭建新函数，对函数进行转化之后求解。

例3 已知函数f（x）=2ax2+2x-3-a。

（1）若函数y=f（x）有实数零点，求a的取值范围;

（2）若在区间[-1，1]上函数y=f（x）上有零点，求a的取值范围。

解析：如果a=0，区间[-1，1]上函数f（x）=2x-3没有零点。因此，针对a≠0这一条件展开分析：

①区间[-1，1]上函数f（x）=0存在重根，Δ=4（2a2+6a+1）=0，求解得出a值，为a=-3-72，如果a=-3-72，此时f（x）=0重根x=-3-72∈[-1，1];如果a=-3+72，此时f（x）=0重根x=3+72[-1，1]。所以区间[-1，1]上函数f（x）=0有重根的情况下，a=-3-72。

②区间[-1，1]上f（x）仅有1个零点，并且不是f（x）=0重根，这时f（-1）f（1）≤0，因为f（-1）=a-5，f（1）=a-1，所以（a-5）（a-1）≤0，即1≤a≤5，当a=5，此时区间[-1，1]上函数f（x）=0存在2个相异实根，所以区间[-1，1]上函数f（x）=0仅有1个根且非重根，解得1≤a<5。

③区间[-1，1]上函数f（x）=0存在2个相异实根，函数f（x）=2ax+12a2-12a-a-3，图象对称轴方程是x=-12a，a必须要满足以下条件：（1）

Δ>0，求解不等式组（1）可以得出a值，即a≥5，求解不等式组（2），可以得出a<-3-72。所以，区间[-1，1]上函数f（x）=0存在2个相异实根，此时a∈-∞，-3-72∪[5，+∞），如果1≤a<5，f（-1）f（1）≤0，区间[-1，1]上函数f（x）=0有根，当a∈-∞，-3-72∪[5，+∞）时，因为f-12af（1）<0，|12a|<1，区间[-1，1]上函数f（x）=0有根;如果a=-3-72，区间[-1，1]上函数f（x）=0有根;由此可知，区间[-1，1]上函数y=f（x）有零点，a取值范围是-∞，-3-72∪[1，+∞）。

三、 高考函数零点问题求解经验总结

根据以上分析以及例题解析，总结高考中的函数零点问题，可以得出以下几点经验：第一，数学教材中与函数零点问题相关的基础知识必须要牢牢掌握，如果假设f（x）=g（x）-h（x），那么f（x）零点f（x）=0实数根f（x）图象和x轴交点横坐标g（x）、h（x）图象交点横坐标;第二，学生在求解函数零点问题时，务必要加强对转化、构造函数、数形结合、分类讨论这四种数学思想的重视，在问题求解中灵活应用。通过数学知识的学习与问题求解，积累解题经验，总结有效的思维方法。能够在学习中思考、思考中研究，从而提高数学学习水平，更加高效地完成函数零点问题求解。

四、 结束语

综上所述，函数零点问题在高中数学学科中是非常重要的知识点之一，学生面对函数零点问题，为了能够更加高效的求解，应该使用数形结合、函数与方程、转化与化归、分类讨论数学思想，在求解问题的过程中积累经验，总结有效的解题思路，从而提高学生数学学习水平。

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作者简介：李翠娟，福建省宁德市，福建省宁德市古田县第三中学。