借助工具，发展数学思考能力

浙江省义乌市义亭中学 吴军强

数学工具，顾名思义，是帮助学生思考的工具。其作为辅助材料，能够帮助老师突破教学的重难点，完成本节教学的目标和任务。同时，利用工具开展数学活动时，老师可以有效地向学生渗透一些简单的数学思想，培养学生的数学思维。

一、借助表格，丰富思维体验

表格是一种最为常见的工具。制作表格，学生可以把零散的数据整体化，把复杂的问题简单化。可以无形中向学生渗透“化繁为简”“化零为整”的数学思想，让学生获得良好的思维体验。

例如，在教学《古典概型》时，为了引出古典概型的概念，老师设置了一个与学生生活紧密联系的数学问题：同时掷两个骰子，一共有多少种不同的结果？其中向上的点数之和为6 的结果有多少种？向上的点数之和为6 的概率又是多少？投掷一枚骰子会出现6 个点数，那么两个骰子会有36 种组合。有的同学尝试用列举法一一列举，可是数据庞大，容易混淆，不太现实，而且数据零散，不容易看出其中的规律。综合考虑，有的同学借助表格分析实际问题，列出的表格如下：

二、借助多媒体，丰富操作体验

几何模块也是高中数学的重要组成部分之一，几何模块的学习要求学生具有较强的想象力，能够在脑海中想象出点或者是图形的运动。因此，想象能力比较薄弱的学生可以利用多媒体，促进自己想象力的发展。

《几何画板》最突出的特点在于“动态变化”，它可以让一个点随意地运动，为学生的想象力提供了无限的可能。学生可以利用几何画板任意拖动图形、观察图形，猜测并且验证某个定理，在具体绘制图形的过程中对图形本身有着更为深刻的认识。在向学生普及《几何画板》这一思考工具时，老师可以先教学生一些基本的操作，带领学生认识工具，学会编辑；然后让学生绘制一些简单的平面图形，再上升到立体图形；随后可以从几何模块的学习过渡到函数模块的学习。学生可以同时绘制指数函数、对数函数和幂函数的图像，比较这三个函数图像的特点，还可以便捷地画出一些分段函数图像。

例如，对“二分法求零点”这个定理的学习，很多学生认为这个定律比较烦琐。对于在区间（a，b）上连续不断，且f（a）f（b）＜0的函数，通过不断地把函数f（x）的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫二分法。为了得到较为精确的零点近似值，学生首先要找准范围，然后不断逼近，计算多个准确的数值，过程十分烦琐。但利用几何画板就可以省去计算的过程，在操作时对二分法定理进行验证，进而深入理解定理，对学生数学学习很有帮助。与其让学生花过多的时间在计算上，还不如让学生动手操作体会二分法的实用性和价值。

因此，对于学生来说，几何画板是一个良好的学习工具，学生在课下可以探索相关的数学知识。对于老师来说，几何画板也是良好的教学工具，能够把抽象的数学知识以简单直观的方式呈现在学生的眼前。

三、借助方格纸，拓展思维空间

方格纸是画图的材料，用方格纸画出的图形会更加规范和直观。在方格纸上画出图形，分析图形的特点，对比相关图形之间的关系，能够帮助学生理解一些数学概念。

例如，在教学《中心投影与平行投影》时，老师和学生一起先回顾三视图的概念：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图叫几何体的正视图，光线从左面向右面正投影得到几何体的俯视图，光线从几何体的上面向下面正投影会得到俯视图，这三幅图统称为几何体的三视图。老师向学生展示一个长为2 厘米、宽为3 厘米、高为4厘米的长方体，让同学依次在方格纸上画出它的正视图、俯视图和侧视图。方格纸和白纸有着较为明显的不同：在白纸上画图，我们看不出长度关系，但是方格的数量可以表征出一定的数量关系。例如，将一个小方格的边长设置为1 厘米，两个小方格就表示为2 厘米。结合老师给出的长、宽、高等数据，同学依次画出了这个长方体的三视图。然后让学生总结归纳三视图的基本特征：一个几何体的俯视图和正视图的高度一样，俯视图和正视图的长度一样，俯视图与侧视图的宽度一样，这也是本节课老师想要向学生重点传授的三视图口诀“长对正、高平齐、宽相等”。随后老师又借助方格纸，让学生分别了解中心投影、平行投影的概念和特点。学生学习完后便可以归纳出平行投影和中心投影的优缺点。比如，中心投影能够逼真地反映物体原来的形状，主要运用于绘画领域。对于学生自我总结探索的规律和定理，学生会产生强烈的认同感，对学生的学习发挥了积极的作用。

高中数学知识点较为抽象，恰当地运用一些数学思考工具可以把抽象的知识直观化，帮助学生理解和吸收。同时，利用工具进行学习可以做到深入思考，培养学生的思考能力。