广东省广州市铁一中学 (511447) 范 群
首先证明第(1)题:
证法1:因为a+b+c=0,abc=1,可见a,b,c不全相等,a,b,c均不为零,a,b,c中一正两负,不妨设a0,可见ab+bc+ca<0.
证法4:构造三次函数y=f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),不妨设y=f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),即y=f(x)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x-abc=x3+(ab+bc+ca)x-1,显然,f(x)在[a,b],[b,c]上均满足罗尔定理的条件,由罗尔定理知f′(x)在(a,b)中至少一个零点,在(b,c)中至少一个零点,可见,f′(x)一共至少两个零点,而f′(x)=3x2+(ab+bc+ca),令f′(x)=0,显然当且仅当ab+bc+ca<0时,f′(x)最多有两个零,此时必有ab+bc+ca<0.
现证明第(2)题: