基于重采样的COLD阵列波达方向和极化参数联合估计

马慧慧，陶海红

(西安电子科技大学 雷达信号处理国家重点实验室，陕西，西安 710071)

极化敏感阵列是信号处理的一个前沿领域，它具有时、空、极化多维性，能够更大限度上利用信号的固有属性和传播信息，在雷达、通信、声纳和生物医学等众多领域有着广阔的应用前景[1]，主要包括目标检测[2]、滤波[3]和参数估计[4-8]这几个方面. 针对极化敏感阵列波达方向(DOA)估计，众多常规标量阵列的DOA估计算法[9-15]已经被推广到极化敏感阵列，形成了如多重信号分类(MUSIC)[6]、子空间旋转不变(ESPRIT)[7]、多项式求根(ROOT-MUSIC)[8]等极化敏感阵列参数估计算法. 在这些算法中,文献[6]中方法需要进行谱峰搜索，运算量较大. 为了克服计算量过大的问题，文献[7]中方法采用ESPRIT算法，但是需要进行参数配对，比较繁琐. 文献[8]中提出利用ROOT-MUSIC对三正交共心式极化敏感阵列进行参数估计，可以克服MUSIC方法运算量太大的缺点，且无需进行参数配对，但是求根多项式阶数比较大.

在低信噪比情形下，上述研究方法参数估计性能均会严重下降. 文献[16-19]中针对传统标量阵列，提出通过产生伪噪声进行重采样，并通过参数估计结果可行性判定方法剔除不正常的DOA估计值的方法，并且提到角度范围对参数估计性能影响不大，只是假设预知参数范围，并未提出如何预估计DOA和极化参数范围，事实上，角度范围预估计的精确性对参数估计性能有明显影响；且通过重采样后仍然存在DOA估计值为异常值的情况，严重影响估计精度；并且每组重采样添加的伪噪声相同，而这种添加伪噪声方式并不是最优；且只是针对传统标量阵列. 针对以上缺点，本文在此基础上提出针对COLD阵列的ROOT-MUSIC算法，提出预估计来波方向和极化参数的范围的方法，与并重采样相结合，使经重采样后参数估计值都为正常值，不存在异常值，改变添加伪噪声方式，对每组重采样选出最优的伪噪声权值，本文方法可以避免谱峰搜索，降低求根多项式阶数，减少计算量，并大幅度提高低信噪比下的DOA和极化参数估计性能.

本文建立了阵列信号模型，提出了基于重采样的COLD阵列波达方向和极化参数联合估计算法，对所提算法进行仿真分析，验证其有效性，

1 阵列及其信号模型

如图1所示，由M个COLD阵元构成的均匀极化敏感阵列位于x轴，每个阵元由一个偶极子和一个磁环构成，偶极子平行于z轴，磁环平行于xoy平面，阵元间距是d. 假设空间有K个互不相关的远场窄带完全极化入射信号，俯仰角θ∈[-π/2,π/2]为与z轴的正向夹角，γ∈[0,π/2]为极化辅助角，η∈[-π,π]为极化相位差，λ为信号的波长. 阵列接收信号X(t)为

AS(t)+N(t).

(1)

式中：A=[a1a2…aK]为阵列流形矩阵;S(t)=[s1(t)s2(t)…sK(t)]T为信号矢量;N(t)表示均值为0，方差为σ2的复高斯白噪声. 其中：

ai(θi,γi,ηi)=ais(θi)⊗aip(θi,γi,ηi),

i=1,2…，K.

(2)

空域导向矢量为

ais(θi)=[1ejφi…ej(M-1)φi]T,i=1,2…，K.

(3)

式中，φi=2πdsinθi/λ,i=1,2…，K，λ为信号的波长. 极化导向矢量可表示为

(4)

2 基于重采样的COLD阵列波达方向及和极化参数联合估计

传统高分辨算法在低信噪比下参数估计性能严重下降，针对这个问题，本文提出了一种基于重采样的COLD阵列波达方向和极化参数联合估计算法，其步骤如图2所示.

本文算法首先利用ROOT-MUSIC算法对DOA和极化参数进行估计，然后对参数估计结果给出可行性判定，判断估计值是否都是正常值，若都是正常值，则直接作为DOA、极化参数估计值输出；否则，对于估计得到的异常值，通过添加随机产生的伪噪声进行一组重采样，并结合ROOT-MUSIC算法得到重采样后的一组估计值，再通过参数估计结果可行性判定，若正常值数目为0，继续重采样迭代，

直到正常值数目大于0，退出循环. 对于添加的伪噪声，服从均值为0的高斯分布，其功率由噪声加权得到，需要根据在0.1～1.0之间的不同权系数下得到的正常值数目来确定权系数，选择对应正常值数目最多的权系数为当前重采样添加伪噪声的权，也就是说，每组重采样添加的伪噪声服从的分布不尽相同.

2.1 COLD阵列ROOT-MUSIC算法

阵列接收信号协方差矩阵为

Rx=E[XXH]=ARsAH+σ2I.

(5)

式中X=[X(t1)X(t2)…X(tN)]，2M×N维，N为快拍数. 对Rx进行特征值分解，可得

(6)

式中：Us为信号子空间，由Rx特征值分解的K个大特征值所对应的特征向量构成；Λs为对角矩阵，对应K个大特征值;Un为噪声子空间，由(2M-K)个小特征值对应的特征向量构成；Λn为对角阵，对应(2M-K)个小特征值. 定义

T(θ,γ,η)=[as(θ)⊗ap(θ,γ,η)]H×

(7)

对式(7)变形，可得

(8)

令

由子空间原理知，阵列导向矢量张成的空间和噪声子空间正交，即

span{A}⊥span{Un}.

(10)

故式(7)中，有

T(θ,γ,η)=0.

(11)

(12)

可知zi=ej2πdsin θi/λ为式(12)的根，共有2M个根，但只有位于单位圆内的K个根才是对应于信号波达方向的解. 俯仰角估计值为

θi=sin-1(arg(zi)λ/(2πd)).

(13)

得到DOA估计值后，利用T(θ,γ,η)求解极化参数问题可以看作一个解优化问题，如下：

s.t|ap(θ,γ,η)|2=sin2θ.

(14)

建立代价函数：

(15)

对式(15)的ap(θ,γ,η)求梯度，令结果为0，可得

(16)

即

P(θ)ap(θ,γ,η)=μap(θ,γ,η).

(17)

从式(17)可得，ap(θ,γ,η)为P(θ)做特征值分解后对应的特征向量，μ为特征值. 因

(18)

ap(θ,γ,η)=vmin[P(θ)].

(19)

由上述可知，要对极化参数进行估计，先要对P(θi)进行特征值分解，得到最小特征值对应的特征向量vmin(θi)，极化辅助角、极化相位差的估计值为

(20)

(21)

(22)

2.2 参数估计结果可行性判定

对于图1所示的阵列模型，不考虑噪声情形下，加权后COLD阵列的输出功率为

(23)

其中，

Rx≈XXH/N.

(24)

式中Wk是权矢量，可表示为

Wk=as(θk)⊗ap(θk,γk,ηk).

(25)

使θk取遍[-π/2,π/2]，γk取遍[0,π/2]，ηk取遍[-π,π]，可得到B的P个极值点，对应为(θ1,γ1,η1),(θ2,γ2,η2),…(θP,γP,ηP),P≥K. 则信号源的俯仰角范围为

[θ1L,θ1R]∪[θ2L,θ2R]∪…∪[θPL,θPR].

(26)

式中，[θPL,θPR]表示以θP为中心，向左右各取5°所构成的区间，信源极化辅助角范围为

[γ1L,γ1R]∪[γ2L,γ2R]∪…∪[γPL,γPR].(27)

式中[γPL,γPR]表示以γP为中心，向左右各取5°所构成的区间. 极化相位差范围为

[η1L,η1R]∪[η2L,η2R]∪…∪[ηPL,ηPR].(28)

式中[ηPL,ηPR]表示以ηP为中心，向左右各取5°所构成的区间.

若由ROOT-MUSIC算法估计得到的俯仰角以及极化参数在上述范围内，则可认为是正常估计值，否则，是异常估计值. 这个判定估计结果是否正常的过程即为参数估计结果可行性判定方法.

2.3 加伪噪声重采样

在常规高分辨参数估计算法中，在低信噪比较低的情况下进行特征值分解时，噪声子空间元素可能会混入信号子空间，会导致出现大量异常值，通过加伪噪声进行重采样，注入随机噪声，可以打破原始极化敏感阵列接收数据矩阵，更新信号子空间和噪声子空间，提高参数估计正常值比例，重构数据矩阵可以表达为

Yi=X+Zi=AS+N+Zi.

(29)

式中：Yi=[Yi(t1)Yi(t2)…Yi(tN)]为第i次重采样数据矩阵，2M×N维，i=1,2,…,L；X=[X(t1)X(t2)…X(tN)]为原始阵列接收数据，2M×N维. 且

Yi(t)=X(t)+Zi(t)=

(30)

Zi是随机产生的零均值高斯伪随机噪声，2M×N维，且满足[18]

(31)

则重构矩阵Yi协方差矩阵：

(N为快拍数).

(32)

伪噪声方差可以定义为[18]

(33)

式中：

(34)

其中λi(i=1,2…,2M)为RX经过特征值分解后的特征值，且λ1≥λ2≥…≥λ2M.

在文献[16]中，直接取p=0.3是最优值，对于每一组重采样，都加入相同的伪噪声. 而在本文中，由于在信噪比较低时，信号子空间元素可能会混入噪声子空间，从而导致出现异常估计值，因此在添加伪噪声时，不能使其功率相对于噪声太大，从而进一步削弱信号，因此，取p在0.1～1.0范围内的值较为合适，对于每组重采样，添加一组p的取值在0.1～1.0之间的伪噪声，判断p在不同取值下得到的正常值数目，取对应最多正常值数目的p作为本组重采样最优值，也就是说，对每组重采样添加的伪噪声是不同的.

对于每一组重采样数据，可通过重构矩阵Yi(i=1,2,…,L)实现，并对每次重采样数据采用ROOT-MUSIC算法，得到该组重采样数据对应的一组参数估计值，具体步骤如下.

① 令

Pmrrm,i=[as(z-1)⊗I2]HUn,i×

(35)

式中：L为重采样次数；Un,i为RYi进行特征值分解后得到的噪声子空间. 求解Pmrrm,i=0的根，可以得到第i次重采样后位于单位圆内的K个根Zk,i=ej2πdsin θk,i/λ，k=1,2…,K，进而得到第i次重采样对应的K个目标源的来波方向θk,i=sin-1(arg(Zk,i)λ/(2πd)),k=1,2…,K.

② 令

P(θk,i)=[as(θk,i)⊗I2]HUn,m×

(36)

对P(θk,i)进行特征值分解，得到最小特征值对应的特征向量vkmin(θk,i),k=1,2…,K，即为第k个目标源的极化域导向矢量，进而得到第i次重采样对应的K个目标源的极化辅助角和极化相位差分别为

(37)

(38)

得到L组K个目标源对应的DOA和极化参数后，再利用参数估计结果可行性判定方法，选择正常的DOA和极化参数估计值，剔除非正常估计值，并得到本组重采样在最优权下的一组正常值.

若在最优权下DOA估计结果有Qs(Qs≤K)个正常值，极化辅助角估计结果中有Qm(Qm≤K)个正常值，极化相位差估计结果中有Qn(Qn≤K)个正常值，则第v个信号的DOA、极化参数估计值分别为

(39)

(40)

(41)

3 仿真实验和性能分析

本节用计算机仿真来证明本文所提阵列结构和DOA估计算法的有效性. 在下面的仿真中，考虑该均匀COLD阵列阵元数M=8，在x轴上均匀分布，阵元间距d=λ/2，假设接收信号为远场窄带TEM波，且信号之间相互独立，都是零均值高斯随机过程，噪声为加性高斯白噪声. 设2个相互独立的信号入射到极化敏感阵列，信号波达方向和极化参数分别为(θ1,γ1,η1)=[30,40,80]，(θ2,γ2,η2)=[70,45,60]，快拍数N=100，进行1 000次Monte-carlo试验，重采样估计器维数L=30. 比较本文所提算法与极化敏感阵列ESPRIT[14]、三正交共心式极化敏感阵列ROOT-MUSIC算法[15]的性能.

RMSE的计算方式为

(42)

由图3(a)～3(c)可以看到，在低信噪比(SNR≤0 dB)时，相对于传统ESPRIT方法，COLD阵列ROOT-MUSIC算法的DOA参数估计精度在低信噪比下参数估计性能略有提高，极化参数估计性能提升比较明显；相对于COLD阵列ROOT-MUSIC算法，本文提出的基于重采样的ROOT-MUSIC算法的DOA以及极化参数估计性能均大幅度提高，这是因为在低信噪比情况下，信号子空间、噪声子空间划分不够准确，噪声子空间元素可能混入信号子空间，导致出现大量异常值，但是通过多次重采样，更新接收数据协方差矩阵，更新特征值分解得到的信号子空间和噪声子空间，提高正常值所占比例，并经过参数估计结果可行性判定方法，把正常估计值留下，剔除异常值，且本文进行每组重采样都要选取最优的伪噪声权值，不会存在经过重采样后得到的参数估计值均为异常值的情况，这些都使得本文算法的参数估计精度得到大幅度提高.

4 结 论

本文提出了一种基于重采样的COLD阵列ROOT-MUSIC参数估计方法，该算法通过不断重采样大大提高了参数估计正常值所占比例，尤其是在低信噪比情形下，并且通过伪噪声选优大幅度提高了COLD阵列在低信噪比下的参数估计精度，不需要任何关于来波信号的先验知识，不需要进行谱峰搜索，相对于传统标量阵列，可以利用天线提供的极化分集，在进行DOA估计的同时，进一步估计来波的极化信息，且参数估计精度更高. 仿真结果表明，在低信噪比情况下，异常值数目降低，DOA和极化参数估计性能大幅度提高.