基于微分对策的废旧电器电子设备回收政企协同策略

林思良，马德青，胡劲松

(青岛大学 商学院，山东 青岛 266071)

0 引言

技术革新加快了电子产品更新换代的速度，使废旧电器电子设备(Waste Electrical and Electronic Equipment，WEEE)的数量急剧增加[1]。国家统计局数据显示，截至2013年，我国“四机一脑”(电视机、冰箱、空调、洗衣机、电脑)的年废弃量达1亿台。2015年，我国每年主要电子设备报废量超过两亿台，重量超过500万吨，已经成为世界第一大废弃电子产品产生国。电子废弃设备的回收处理成为政府、企业和社会关注的焦点问题之一。

为了减少WEEE对环境的严重影响，推动经济可持续发展，越来越多的企业开始从事废旧电器回收，通过再制造恢复其价值。例如苹果公司实施绿色营销和回收一体化项目，通过各种激励措施极力鼓励消费者返还其终端产品，如提供苹果礼品卡等[2]。WEEE回收问题的研究也在学术界掀起了热潮，Astasu等[3]针对考虑生产者的责任延伸制，分析了回收法规的环境和经济影响；Webster等[4]考虑回收法律的影响，分析了制造商自主回收和委托回收两种情形下与再制造商间的竞争策略；Hammond等[5]在闭环供应链网络模型中，分析了废旧电器电子产品指令规定的最低回收率和再利用率的影响；Georgiadis等[6]利用系统动力学仿真分析了环境立法、环保商誉等因素对电子产品闭环供应链的环境和经济可持续发展的影响；Ma等[7]研究了存在消费补贴的双渠道闭环供应链中政府规制对企业最优决策的影响；卢荣花等[8]基于电子产品的短生命周期和价格依赖随机需求的特征，对比分析了零售商竞争环境下的制造商回收和零售商回收两种情形，给出了制造商的最优回收渠道选择决策；王喜刚[9]从社会福利最大化视角，研究了逆向供应链中电子废弃产品回收价格的确定和补贴问题；马祖军等[10]针对混合渠道销售和回收的电子产品闭环供应链，考虑我国目前实施的WEEE规制政策的影响，得到了政府规制工具的最优参数和闭环供应链中各成员的最优经营策略，以及社会福利和消费者剩余；余福茂等[11]考虑政府引导，研究了不同回收模式对电子废弃物回收处理决策的影响；王文宾等[12]研究了政府奖惩机制下电子产品闭环供应链的决策问题和契约设计；郑本荣等[13]研究了零售商直接分担和与制造商经过协商分担两种成本分担模式下的闭环供应链绩效，并利用两部收费契约和收益共享契约对协商成本分担模型进行改善；刘慧慧等[14]在电子产品非正规回收渠道对正规回收渠道存在冲击的背景下，考虑政府补贴和市场合作对正规渠道的扶持作用，研究两种回收渠道间的竞争策略制定问题；冯章伟等[15]探讨了第三方回收商的电子产品回收和定价策略对供应商和制造商绩效的影响；王玉燕等[16]在“互联网+”大环境下，考虑网络平台的公平偏好，研究了不同主导模式下的E-闭环供应链的销售和回收策略制定问题。

越来越多的研究表明，政府在WEEE回收中具有不可替代的作用。2011年1月1日，我国《废弃电子产品回收处理管理条例》正式实施，标志着中国政府对废弃电器电子产品的回收处理走向制度化和法律化。然而，现有WEEE回收问题的研究大多仅考虑企业间的博弈，而将政府决策作为外生变量，或仅从定性角度探讨政府在废旧电子产品回收中的影响。而实际中，政府往往作为博弈主体领导着废旧电子产品的回收过程，其回收决策往往和企业回收决策存在互动，并根据现实情况进行动态调整[17]。

企业的回收投资行为往往存在一定滞后效应，当前的WEEE回收努力会影响企业未来的环保商誉[18-20]，而且企业环保商誉的建立也是一个持续的过程，如果某个时期终止回收努力投入，企业的环保商誉可能会因消费者遗忘而急剧下降。回收努力投入是一个持续的过程，回收努力投入效果存在跨期效应，因此在动态范畴展开回收问题的研究更加贴近现实[21-22]。

综合政府在WEEE回收过程中的重要作用以及回收过程的动态特性，本文将政府作为WEEE回收中的独立博弈主体，考虑回收带来的经济效益和社会效益，探讨政府和企业间废旧电子产品协同回收策略的制定问题，以及不同回收模式对企业环保商誉的演进和对系统绩效的影响。

1 问题描述与模型假设

1.1 问题描述

本文针对家用电子电器达到生命周期后，由政府和WEEE回收企业构成的系统，研究政企双方的WEEE回收问题。政府对废旧电子产品回收工作的宣传、支持等投入会在全社会形成一种全民回收的氛围，提升了人们对回收废旧电子产品企业的好感[17]。假设政府的回收努力投入会引起社会对废旧电子产品回收企业的关注，进而提升企业形象，本文用“环保商誉”衡量这种企业形象，消费者会倾向于选择购买具有良好环保商誉企业的电子设备,企业的WEEE回收努力投入(如建立回收网点、运输报废电器、处理废旧电子产品等)会在短期内引发社会大量关注，形成广告宣传效应，也有助于其提升环保商誉[18，21]。考虑到政府在WEEE回收贯彻循环经济理念过程中承担主要责任，本文将政府作为政企回收Stackelberg微分博弈过程的主导方。另外，为进一步激励企业的回收努力投入，政府会选择给予WEEE回收企业一定的成本补贴。

1.2 模型假设

假设2为鼓励企业积极进行WEEE回收，政府对WEEE回收企业的回收努力投入成本给予α(t)比例的补贴(如现行的废旧电子设备回收的税收补贴政策)，α(t)∈(0,1)，即政府只给予部分回收补贴。

假设3企业的WEEE回收努力会以提高环保商誉的形式提升企业形象[18，21-22]，而政府的回收努力是号召社会各界积极参与到WEEE回收活动中，形成“全民回收”的良好氛围，增强社会对回收企业的关注。因此，企业的环保商誉与企业自身回收努力投入和政府的回收努力投入均密切相关，且是一个动态变化过程，参考Nerlove-Arrow[23]的商誉动力学方程，企业环保商誉R(t)变化的微分方程可表示为

R(0)=R0。

(1)

式中：R0为初始时刻企业的环保商誉；γG和γB分别为政府和企业回收努力投入对企业环保商誉的影响系数，γG,γB>0；δ为环保商誉的衰减率，δ>0。企业的环保商誉会随政府和企业回收努力投入的增大而增加，也会随消费者的遗忘而衰减。

假设4消费者的购买行为同时受企业回收努力投入水平和环保商誉的影响：回收努力投入产生的广告效应会激发消费者的购买行为；因为提高企业环保商誉会增加企业整体的知名度，所以消费者购买电器产品时也会倾向于购买企业知名度高的产品。同时本文假设企业为订单式生产模式，即不会产生库存，且所有需求均可以得到满足。由于企业回收努力投入和环保商誉均动态变化，消费者需求也具有内在的动态特性，借鉴文献[18，24]，假定t时刻消费者的需求函数为

D(t)=μAB(t)+θR(t)。

(2)

式中：μ为企业回收努力投入带来的广告效应对需求的影响系数，μ>0；θ为企业环保商誉对需求的影响系数，θ>0。可见，增大回收努力投入、提高企业环保商誉是刺激消费者需求的重要营销手段。

假设5政府和企业有相同的正贴现率r，在无限计划期内追寻自身目标。企业追求自身经济效益最大化，其中：ρ为企业回收努力投入对社会效益的影响系数，ρ1>0；ρ2和ρ3分别为政府和企业回收单位WEEE的边际收益，ρ2,ρ3>0。由于职能的特殊性，政府的目标是不仅考虑经济效益，还考虑回收带来的社会效益，即政府回收努力投入带来的积极社会影响，本文假设政府只对废旧电子产品的回收工作进行宣传和支持，没有直接参与回收工作，企业的回收努力投入才是产生社会效益的源头，因此本文用ρ1AB(t)表示回收活动带来的社会效益。在WEEE回收过程中，政府作为渠道领导者，决定每一时刻的回收努力投入和对企业的成本补贴比例，企业作为渠道跟随者，决定每一时刻自身的回收努力投入，两者的目标均受企业商誉变化过程(1)的约束，因此政府和企业间的微分博弈模型可概括如下：

(3)

2 模型分析

本章探讨政府和企业间无成本分担的Nash非合作回收模式(N)、成本分担回收模式(D)和政企协同回收模式(C)下政府和企业的最优回收决策与绩效。为增强可读性，用上标i表示3种回收模式，i∈{N,D,C}；用下标j表示政府和企业两个回收主体，j∈{G,B}。

2.1 Nash非合作回收模式N

在模式N下，政府和企业各自决定自己的回收努力投入计划，政府不向废旧电子产品回收企业提供补贴，即α(t)=0。因此，政府和回收企业的目标泛函及博弈关系概括为：

s.t.

(4)

定理1政企Nash非合作回收模式N下，政府和企业的最优回收投入、企业环保商誉，以及政府和企业的值函数分别为：

证明根据贝尔曼连续型动态规划理论，对于任意的R≥0，连续有界值函数Vj(j∈{G,B})存在HJB(Hamilton-Jacobi-Bellman)方程:

(5)

根据式(5)中的一阶最优性条件，可得政府和企业的最优回收努力投入状态反馈策略：

(6)

(7)

求解该非线性方程组，可得待定系数

(8)

将式(8)代入值函数表达式和式(6)，并借助式(1)，可得回收模式N下企业环保商誉变化的微分方程

求解方程，将其代入式(6)和值函数表达式即可。

证毕。

2.2 政府补贴下的成本分担回收模式D

s.t.

(9)

定理2政府成本分担回收模式D下，政企最优回收努力投入、政府最优补贴比例、企业商誉，以及政府和企业的值函数分别为：

证明政府和企业间采取以政府为主导的Stackelberg博弈，利用逆向归纳法，首先求解企业的回收努力投入反应函数，因此构建企业的HJB方程

(10)

(11)

将式(11)代入政府目标泛函并构造政府的HJB方程

(12)

(13)

(14)

将最优反馈策略(13)和(14)代入式(11)，可得模式D下企业的最优回收努力投入反馈策略

(15)

将式(13)～式(15)代入企业和政府的HJB方程(10)和(12)，可得

(16)

(17)

将式(17)代入值函数以及式(13)和式(15)，结合状态方程(1)，得到成本分担模式下企业商誉变化的微分方程为

求解方程可得企业商誉的时间轨迹，将其代入值函数表达式和最优状态反馈策略即可。

证毕。

2.3 政府企业协同回收模式C

在模式C下，为了维持社会可持续发展，政府将全力支持企业回收废旧电子产品，企业将承担自己的社会责任，提高自身经济收益，两者都希望竭力完成回收活动。在政企组成的联合回收系统中，通过确定政府和企业的最优回收努力投入策略，达到整体经济效益和社会效益最大化，系统的目标泛函模型可概括如下：

s.t.

(18)

定理3政企协同回收模式C下，政府和企业的最优回收努力投入、企业商誉和系统总值函数分别为：

证明存在连续有界值函数VC，对任意R≥0，有HJB方程

(19)

式中：VC为政府和企业总最优值函数；∂VC/∂R为最优值函数关于商誉R的一阶偏导数。根据一阶最优化条件，可得政府和企业的最优回收努力投入反馈策略为：

(20)

将式(20)代入式(19)，得

(21)

根据式(21)的结构，假设值函数形式VC=l1R+l2，其中l1,l2>0为值函数的待定系数，将其代入式(21)，根据恒等关系可得待定系数满足的非线性方程组为

求方程组得待定系数

(22)

将式(22)代入值函数表达式和式(20)，借助式(1)，得到协同回收模式下企业环保商誉变化的微分方程

δRC(t),RC(0)=R0。

求解方程可得企业环保商誉的时间轨迹，将其代入值函数和最优状态反馈策略(20)即可。

证毕。

3 比较分析

对政企间的Nash非合作模式、成本分担契约模式和协同回收模式下的双方绩效进行对比，可得如下结论：

证毕。

证毕。

由定理5可知，在模式C下，政府和企业均会做出最大的回收努力投入以促进回收，相比模式N，政府对企业回收的成本分担降低了企业回收压力，可以有效激励企业做出更多回收努力投入。

定理6当企业环保商誉达到稳态时，政企协同回收模式下的系统总利润最高，政府对回收活动进行成本分担也可以对两者独立回收下的绩效进行Pareto改进。同时，与模式N相比，模式D下的政府和企业各自的绩效均得到改善。用下标表示稳态时的值函数，则

证明由定理1～定理2可知：

证毕。

4 数值算例

本章采用图形对比3种回收模式下的企业环保商誉和系统总体绩效，同时研究关键外生参数ρ1，ρ2变化对政府成本分担比例α的影响。参考文献[18，20，25]，设置基准参数ρ1=1，ρ2=1，ρ3=1.5，r=0.1，δ=0.7，μ=1，θ=0.5，γG=1，γB=1，kG=5，kB=6，R0=0。

图1所示为3种模式下企业环保商誉的时间演进路径。可见，3种回收模式下的企业环保商誉均随时间的演进逐渐提高，这是因为企业环保商誉是树立企业良好社会形象的一个重要指标，可以使企业在消费市场中创造品牌效应，刺激消费者的购买行为，企业会有意识地加大回收努力投入来提高这种环保商誉。另外，模式C下的企业环保商誉最高，这可以归因于政企协同合作所带来的良好的社会效应，政府作为全民行动的标杆，其与企业之间的协同合作会带来积极的回收导向，既可激发消费者参与到回收活动中，又是对积极执行WEEE回收政策企业的一种肯定，使消费者对企业的环保活动予以肯定，有助于提升企业的环保商誉。模式D虽然无法达到协同回收模式下的企业环保商誉水平，但是相比政企不合作各自独立回收，也可大幅提升环保商誉，这表明政府对企业回收成本的分担有一定积极作用，有益于消费者对企业回收活动的认可，从而间接地提升企业的环保商誉。可见，政府对WEEE回收的经济支持是回收政策贯彻的重要保障。

图2所示为3种模式下的系统整体绩效。可见，系统总利润都会随企业环保商誉的提升而增加，一方面环保商誉的提升极大地刺激了消费市场的需求，增加了政府和企业的经济收益；另一方面，企业环保商誉的提升表明越来越多的消费者了解了废旧电子产品的回收政策，并参与到回收行动中，从而提高了政府参与回收努力投入的社会效益。因此，企业环保商誉也是衡量系统整体绩效的一个重要指标。另外，模式C下的系统总利润最高，政府对回收活动进行成本分担也可以对两者独立回收下的绩效进行Pareto改进，再一次验证了政府作为一个博弈个体参与到WEEE回收活动中的重要性和必要性。

图3和图4所示分别为企业回收努力投入对社会效益的影响系数ρ1和政府边际经济收益ρ2两个关键外生参数对政府回收成本分担比例α的影响。可见，成本分担比例α均与外生参数ρ1，ρ2正相关，且存在边际递减规律。这表明，ρ1增大使企业回收努力投入对提升政府社会效益的作用更加明显，体现为WEEE回收活动对消费者环保意识的激发；ρ2增大提高了政府从废旧电子产品回收中得到的经济效益，体现为废旧电子产品的回收再利用所蕴含的巨大利润空间。两者都会使政府更愿意帮助企业承担更多的回收成本，激发企业回收WEEE的积极性，从而进行更多的回收努力投入，带来更多的经济效益和社会效益。对于回收企业来说，政府参与回收活动并承担部分回收成本既是机遇也是挑战，政府的回收成本分担既减轻了企业的回收压力，又可使企业在回收活动中树立良好的环保商誉，培育了忠实的消费群，奠定了企业的良好形象，这是企业的机遇；另一方面，企业也要借此机会进行技术创新，提高废旧电子产品的回收再利用率，挖掘WEEE的可利用价值，从自身经济效益和社会可持续发展两个方面进行突破，这是企业的挑战。

5 结束语

以往研究大多将政府的回收补贴作为外生变量展开企业回收决策研究，本文将政府作为独立博弈个体，考虑回收系统中存在的动态特性，借助微分博弈理论，探讨政府参与并主导的回收过程，在政企Nash非合作回收、政府成本分担回收和政企协同回收3种回收模式下，政府最优回收努力投入、最优成本分担比例、企业最优回收努力决策的制定问题，并对3种回收模式下的企业环保商誉、政府和企业的绩效进行了分析对比。最后，利用数值算例验证了先前结论，并对关键外生参数对政府成本分担比例的影响进行了研究。研究发现：

(1)政企协同回收模式下的企业环保商誉最高，成本分担回收模式能够有效提升Nash非合作回收下的企业环保商誉。

(2)企业环保商誉是衡量系统绩效的重要指标之一，系统总利润会随着企业环保商誉的提升而增加，且政企协同回收模式下的系统总利润最高，成本分担回收模式能够对Nash非合作回收模式的系统利润进行Pareto改进。

(3)企业回收努力投入对社会效益的影响系数和政府边际经济收益两个关键外生参数对政府回收成本分担比例均有正向影响。回收企业应抓住政府参与回收的机遇，进行更高的回收努力投入以提升企业环保商誉，扩大市场需求；同时，回收企业也应迎接政府参与回收带来的挑战，不断进行技术创新，提高WEEE利用率，有效挖掘废旧电子产品残值，在提高自身经济效益的同时落实“循环经济”发展战略，促进经济可持续发展。

本文只考虑了单一企业回收废旧电子产品的情形，未能充分考虑多企业竞争回收的问题，未来将进一步探讨多企业竞争回收环境下的政企策略互动。