高考物理之“以战略备战高考”讲座(３)——模型系统化，提升“物理脑”

◇ 傅雪平

上一讲，我们学会了让知识系统化的策略.但是，仅仅建立这样的知识结构还是不够的，仍然需要进一步提升.物理学是一门理想化、模型化的学科，不论是学习物理知识还是解答物理问题，都离不开一个关键要素——物理模型.物理模型方法是研究自然科学最基本的方法.对于高考物理备考来讲，运用模型来复习同样是一种高效的备考方法.可以说，不了解和不掌握物理模型方法，就学不好物理，也不可能在高考物理中取得好成绩!

1 高考物理与物理模型

1.1 命题——从模型到习题

命题者是怎样命制一道习题的呢?这是同学们特别关心的一个问题.其实，命制一道题目的基本思路是选择一个模型—设置一些条件—再提出一些问题，这样就形成了一道物理题目.如果再给习题有选择性地创设一个实际的情境，就形成了一道信息题.由此可见，习题的命制过程是一个由简到繁的过程.

1.2 解题——从习题到模型

解题者又是怎样解答一个问题的呢?高考中任何一道物理题的背后都一定会有一个或若干模型.解题时，我们要通过审题，抓住问题的主要因素，忽略次要因素，建立合适的物理模型.然后选择与模型相对应的物理规律，列出方程(组)，解出方程(组)的解.最后，将解出来的结果与实际的问题相互检验.由此可见，解题的过程是一个由繁到简的过程.

2 用模型来提升物理脑

2.1 运用模型来学习知识

1)用模型来建立知识

物理学中的概念、规律、公式等，都是借助一定的物理模型抽象和推导出来的.比如对于功的定义式，教材先是根据水平恒力F拉动物块移动位移l这一情境(如图1)得出力F做的功为W＝Fl，再进一步扩展到恒力F的方向与运动的方向成α角(如图2)，得出功的定义式为W＝Flcosα.对于这个推导过程，其前提是将物块看作质点.如果物块不能看作质点，那么就会给这个公式的使用带来麻烦.

图1

图2

同样地，在得出动能定理的过程中，教材创设了一个情境：一个质量为m的物体，在与运动方向相同的恒力F的作用下发生一段位移l，速度由v1增加到v2，如图3所示.

图3

根据牛顿第二定律F＝ma以及运动学规律，可以得到，这就是动能定理的表达式.这个推导过程是建立在质点模型和匀变速直线运动模型两个模型的基础之上的.

对于动能定理，同学们还应该明确两点：

首先，动能定理仅适用于质点，对于不能看作质点的问题，不能直接使用动能定理来求解.

其次，虽然动能定理是在匀变速直线运动模型基础上推导出来的，但却可以应用于曲线运动等一些复杂情况.

由此可见，物理概念与物理规律的建立和推导一般都建立在相应的物理模型之上.因此，对于概念和规律的应用也可能会受制于相应模型的条件.

2)用模型来理解知识

物理知识大都是从客观现象中抽象出来的概念、规律，同学们掌握起来会感到比较抽象.如果仅仅从一个概念到另一个概念，从一个规律到另一个规律，往往会让我们感到难以理解.虽然物理知识很抽象，但从客观现象中抽象出来的物理模型往往是非常形象的.运用这些模型来理解知识，往往会有意想不到的效果.

例1下列说法正确的是( ).

A.物体在恒力作用下能做曲线运动也能做直线运动

B.物体在变力作用下一定是做曲线运动

C.物体做曲线运动，速度的大小和方向一定都会发生变化

D.两个直线运动的合运动一定是直线运动

物体是否做曲线运动，取决于物体所受合外力方向与物体运动方向是否共线，只要两者不共线，无论物体所受合外力是恒力还是变力，物体都做曲线运动；若两者共线，则物体做直线运动，选项A正确，选项B错误；做曲线运动的物体，速度的方向一定变化，但大小不一定会变化，选项C错误；两个直线运动的合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动，选项D错误.故正确答案为A.

如果采用模型来分析：自由落体是恒力作用下的直线运动，平抛运动是恒力作用下的曲线运动，选项A正确；弹簧振子的运动是变力作用下的直线运动，选项B错误；匀速圆周运动的速度方向发生变化，但速度的大小不变，选项C错误.平抛运动可以看成自由落体运动与匀速直线运动的合成，这说明两个直线运动可以合成一个曲线运动，选项D错误.故正确答案为A.

用模型来理解知识，实际上是用具体的事例来理解知识，更加形象，更加直观!

2.2 用模型优化知识体系

高考复习的整个过程可以说是在不断地优化大脑里的知识结构.既然物理知识是建立在模型之上的，模型具有抽象与形象的双重特点，那么利用模型来对知识进行系统化会更具“物理味”!更何况，物理习题也是以模型为基础编制的，那么以模型为载体建立的知识结构，与习题会更“亲密”，解题时知识与习题更容易“对接”.

1)从多角度理解模型

一个模型，需要我们对它进行多角度的理解.比如对于“匀速直线运动”，我们可以从运动学角度来理解：匀速直线运动是指“任意相等时间内的位移都相同的运动”；也可以从动力学角度来理解：匀速直线运动是指“加速度为零的运动”或者说“合外力为零的运动”；还可以用其他不同的“物理语言”来表达匀速直线运动.

如用图象语言来表达：匀速直线运动的“速度—时间”图象是平行于时间轴的一条直线；“位移—时间”图象是一条倾斜的直线；也可以用解析式来表达：速度v＝v0，加速度a＝0，位移x＝v0t.

通过对匀速直线运动这一模型的全方位理解，我们对知识的理解便能既有广度又有深度，当遇到下面的问题时，就能很快找到解题思路.

例2一路灯距地面的高度为h，身高为l的人以速度v匀速行走，如图4所示.试证明人的头顶的影子做匀速运动.

图4

要证明是某种运动，一般可以从速度、加速度、位移的规律入手，相比而言，一般证明位移的规律比较好.设t＝0时刻，人位于路灯的正下方O处，在时刻t，人走到S处，根据题意有OS＝vt，M为t时刻人头顶影子的位置，如图5所示.OM就是人头顶影子在时间t内的位移.由几何关系有

图5

可见，头顶影子的位移OM与时间t成正比，故人头顶的影子做匀速运动.

2)集知识于模型一身

模型与知识不同，知识往往比较单一，但模型却是综合的.知识的系统化最关键的是找到知识之间的“联结”，而模型恰恰是最好的“联结点”.在复习的时候，对一个模型开展学习，相当于进行一次项目式学习，将相关的知识集中在模型上加以理解，这样就相当于建立了以模型为中心的立体化知识结构.

下面，我们以“弹簧振子模型”为例.

例3(1)如图6所示，弹簧振子在BC间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm.若振子从B到C的运动时间是1 s，则下列说法正确的是( ).

图6

A.振子从B经O到C完成一次全振动

B.振动周期是1 s，振幅是10 cm

C.经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm

D.从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm

(2)如图7所示，一轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一物块，物块沿竖直方向以O点为中心点，在C、D之间做周期为T的简谐运动.已知在t1时刻物块的动量为p、动能为Ek.下列说法正确的是( ).

图7

A.如果在t2时刻物块的动量也为p，则t2－t1的最小值为T

B.如果在t2时刻物块的动能也为Ek，则t2－t1的最小值为T

C.当物块通过O点时，其加速度最小

D.物块运动至C点时，其加速度最小

(3)如图8所示，一竖直放置的轻弹簧下端固定在水平地面上，质量为m的小球从弹簧正上方高为h处自由下落到弹簧上端A点，然后压缩弹簧到最低点C，若小球放在弹簧上可静止在B点，小球运动过程中空气阻力忽略不计，则下列说法正确的是( ).

图8

A.B点位于AC连线中点的上方

B.B点位于AC连线中点的下方

C.小球在A点的回复力等于mg

D.小球在C点的回复力大于mg

通过对3个问题的求解，我们掌握了3个方面的内容：

a)对弹簧振子本身结构的理解：水平弹簧振子与两种竖直弹簧振子.

b)对相关概念的理解：简谐运动的概念(全振动、周期、振幅等)以及动量、动能等概念.

c)对思维方法的理解：对称的思维方法.

通过这样的过程，我们建构了以“弹簧振子模型”为中心的系统化知识结构，不仅体现出知识的综合性，更重要的是表现出知识的灵活性.

3)集模型于知识系统

在进行知识系统化的时候，我们可以总结一个章节甚至整个高中物理中出现的重点模型，并将其分类，厘清关系，建立起以模型为节点的知识体系.

下面，我们以“万有引力与航天”一章为例.

例4(1)(自转模型)中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大.现有一中子星，观测到它的自转周期为.问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解.计算时星体可视为均匀球体.(引力常数G＝6.67×10－11N·m2·kg－2)

(2)(公转模型)已知地球半径约为6.4×106m，又知月球绕地球的运动可近似看作匀速圆周运动，估算出月球到地心的距离.(结果只保留一位有效数字)

(3)(同步卫星模型)关于地球同步卫星，下列说法正确的是( ).

A.卫星的轨道半径可以不同

B.卫星的速率可以不同

C.卫星的质量可以不同

D.卫星的周期可以不同

(4)(近地卫星模型)地球的第一宇宙速度约为8 km·s－1，某行星的质量是地球质量的6倍，半径是地球半径的1.5倍，则该行星的第一宇宙速度为( ).

A.4 km·s－1B.8 km·s－1

C.16 km·s－1D.32 km·s－1

(5)(极地卫星模型)侦察卫星在地球两极上空的圆轨道上运行，它的运行轨道距地面高度为h，要使卫星在一天时间内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少?设地球的半径为R，地面处的重力加速度为g，地球自转的周期为T.

(6)(双星模型)两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动.现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量.

(7)(黑洞模型)英国《新科学家(New Scientist)》杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650-500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径约45 km，质量M和半径R的关系满足(其中c为光速，G为引力常量)，则该黑洞表面重力加速度的数量级为( ).

A.108m·s－2B.1010m·s－2

C.1012m·s－2D.1014m·s－2

通过对这7个模型的分析研究，我们在解决这些典型问题的过程中，建构了一个章节的系统化知识结构.

2.3 运用模型来学会解题

在高考复习中，刷题成为常态，但是题海茫茫，我们的出路在哪里?题海无涯，模型是岸!虽然物理题是无限的，但物理模型是有限的!因此要学会解题，提高解题能力，我们必须从模型入手.具体来讲有两个方面的策略.

1)一个模型“掌控”一片天

很多“形异质同”的问题，从本质上看都是同一个模型.因此，通过一个模型，我们就可以掌握一类问题的解法.

下面以流体问题中的“柱体模型”为例.

例5流体的“柱体模型”：对于流体运动，可沿流速v的方向选取一段柱形流体作微元，设在极短的时间Δt内通过某一横截面积为S的柱形流体的长度为Δl，如图9所示.设流体的密度为ρ，则在Δt的时间内流过该截面的流体的质量Δm＝ρSΔl＝ρSvΔt.

这个模型可以解决的问题很多，如：

图9

(1)(风力发电机)某同学设计了一个小型风力发电机，通过叶片转动带动转子(磁极)转动，使定子(线圈)中产生电流，实现风能向电能的转化.已知进风口直径为D，设计的额定风速为v，风能转化为电能的效率为η，空气的密度为ρ.求在额定风速下发电机输出的电功率P.

(2)(水射流)超高压数控万能水切割机以其神奇的切割性能在北京国际展览中心举行的第五届国际机床展览会上引起轰动，它能切割40 mm厚的钢板、50 mm厚的大理石等材料.将普通的水加压，使其从口径为0.2 mm的喷嘴中以800 m·s－1～1 000 m·s－1的速度射出，这种水射流就是“水刀”.我们知道，任何材料承受的压强都有一定限度，表1列出了一些材料所能承受的压强的限度.

表1

设想一“水刀”的水射流横截面积为S，垂直入射的速度v＝800 m·s－1，水射流与材料接触后，速度变为零，且不附着在材料上，水的密度ρ＝1×103kg·m－3，则此水刀不能切割上述材料中的( ).

(3)(宇宙微粒)有一宇宙飞船，它的正对面积S＝2 m2，以v＝3×103m·s－1的相对速度飞入一宇宙微粒区.此微粒区1 m3空间中有一个微粒，每一个微粒的平均质量为m＝2×10－7kg.设微粒与飞船外壳碰撞后附着于飞船上，要使飞船速度不变，飞船的牵引力应增加( ).

A.3.6×103N B.3.6 N

C.1.2×103N D.1.2 N

(4)(气体压强)正方体密闭容器中有大量运动粒子，每个粒子质量为m，单位体积内粒子数量n为恒量.为简化问题，我们假定：粒子大小可以忽略，其速率均为v，且与器壁各面碰撞的机会均等，与器壁碰撞前后瞬间，粒子速度方向都与器壁垂直，且速率不变.利用所学力学知识，导出器壁单位面积所受粒子压力F与m、n和v的关系.

(5)(电流微观表达式)一段横截面积为S、长为l的直导线，单位体积内有n个自由电子，电子电荷量为e.该导线通有电流时，假设自由电子定向移动的速率均为v.

(a)求导线中的电流I.

(b)将该导线放在匀强磁场中，电流方向垂直于磁感应强度B，导线所受安培力大小为F安，导线内自由电子所受洛伦兹力大小的总和为F，推导F安＝F.

(6)(光压)科学家设想在未来的航天事业中用太阳帆来加速星际宇宙飞船，按照光的粒子说，光由光子组成，飞船在太空中张开太阳帆，使太阳光垂直射到太阳帆上，太阳帆面积为S，太阳帆对光的反射率为100%，设太阳帆上每单位面积每秒到达n个光子，每个光子的动量为p，如飞船总质量为m.求：

(a)飞船加速度的表达式.

(b)若太阳帆面对阳光一面是黑色的，情况又如何?

2)多个模型“围剿”一道题

高考中的综合题一般都是由多个部分有机拼接而成，每个部分都可以建立一个模型.对于这一类问题，我们必须将多个模型组成团队，一起来“围剿”这道题.下面，我们来看一个问题.

例6如图10所示，物块A和B通过一根轻质不可伸长的细绳连接，跨放在质量不计的光滑定滑轮两侧，质量分别为mA＝2 kg、mB＝1 kg.初始时A静止于水平地面上，B悬于空中.先将B竖直向上再举高h＝1.8 m(未触及滑轮)，然后由静止释放.一段时间后细绳绷直，A、B以大小相等的速度一起运动，之后B恰好可以和地面接触.g取10 m·s－2.空气阻力不计.求：

图10

(1)B从释放到细绳刚绷直时的运动时间t；

(2)A的最大速度v的大小；

(3)初始时B离地面的高度H.

(1)B从释放到细绳刚绷直前做自由落体运动，有，解得t＝0.6 s.

(2)设细绳绷直前瞬间B速度大小为v0，有v0＝gt＝6 m·s－1.细绳绷直瞬间，细绳张力远大于A、B的重力，A、B相互作用，总动量守恒，则有

绳子绷直瞬间，A、B系统获得的速度v＝2 m·s－1.之后A做匀减速运动，所以细绳绷直瞬间的速度v即为最大速度，即A的最大速度为2 m·s－1.

(3)细绳绷直后，A、B一起运动，B恰好可以和地面接触，说明此时A、B的速度为零，这一过程中A、B组成的系统机械能守恒，有(mA＋mB)v2＋mBgH＝mAgH.解得初始时B离地面的高度H＝0.6 m.

回顾本题的解答过程，出现的模型有：自由落体运动、完全非弹性碰撞、匀减速直线运动.解题时，需根据时空的先后顺序，依次选用相应模型的规律，逐个解决，再考虑模型之间的时空关系，最后综合得出问题的结果.

3 模型系统化要注意的两个问题

3.1 一物可以有多个模型

物理模型都是在一定的条件下，抓住主要因素，忽略次要因素，理想化而成的.对于不同的条件，建立的模型往往并不相同.一般表现在两个方面：

1)不同的研究目的对应不同的模型

比如，人这个研究对象在不同的问题中就可以看作不同的模型.

例7第十八届亚运会在印度尼西亚雅加达举行，运动会包括射箭、体操、田径、击剑等数十个比赛项目.下列关于运动项目的描述正确的是( ).

A.研究马拉松运动员跑步的过程，评判比赛成绩时，可将运动员视为质点

B.在双人同步跳水运动中，以其中一名运动员为参考系，另一名运动员是相对静止的

C.在评判击剑运动员的比赛成绩时，运动员可视为质点

D.研究体操运动员的体操动作时，可将其视为质点

马拉松比赛时，由于路程长，运动员的大小和形状可忽略，可以将运动员视为质点，故A正确；在双人同步跳水运动中，两名运动员始终保持同步，故以其中一名运动员为参考系，另一名运动员是相对静止的，故B正确；击剑时要注意人的肢体动作，但是看成绩不看动作时，可以将运动员看作质点，故C正确；体操中主要根据人的肢体动作评分，不能忽略人的大小和形状，因此不能看作质点，故D错误.

从这个例子可以看出，人能不能看成质点，关键是要考虑所研究的问题.

2)不同的模型对应不同的研究方法

对于同一个问题，从不同的角度可以建立不同的模型，与之对应的规律也不同.

例8从倾角为θ的斜面上O点，以初速度v0水平抛出一个小球，落至斜面A点.则从抛出开始经多长时间小球离斜面的距离最大?最大距离是多少?

解法1将小球的运动看作平抛运动.

如图11所示，设小球抛出t时间后，当速度方向与斜面平行时，小球离斜面的距离达到最大，此时小球速度方向与初速度方向成θ角.根据“平抛运动任意时刻末速度的反向延长线经过水平位移的中点”，设图中M点为末速度反向延长线与水平位移的交点，线段MN的长即为所求的最远距离H.

图11

因为平抛运动中任意时刻末速度的反向延长线经过水平位移的中点，所以由几何关系可知最远距离为

解法2将小球的运动看作斜抛.

如图12所示，利用斜抛思想求解，将物体初速度v0、重力加速度g都分解成沿着斜面和垂直斜面方向的两个分量.在垂直斜面方向上，物体做的是以vy为初速度、gy为加速度的类竖直上抛运动.物体上升到顶端的时间等于它从抛出至离斜面最远的运动时间.可得

图12

物体在垂直于斜面方向“上升”的最大高度H＝

通过本题我们发现，将同一现象看作不同的模型，是一题多解思路的重要来源之一!

3.2 “围剿”与“反围剿”

物理题的命题者用模型来编制题目，我们用模型来“围剿”题目.但是，为了检测出考生的真实能力，命题者往往会巧设“陷阱”，妙用“伪装”，对我们进行“反围剿”.

例9在竖直平面内的玩偶“过山车”滑梯由三段轨道平滑连接而成，第一段为粗糙直轨道AB，第二段为内壁光滑、外壁粗糙的圆轨道BCD，第三段为内、外侧均粗糙的抛物线轨道CE，直轨道与圆轨道相切于B点，圆轨道与抛物线轨道相切于C点(切线水平)，如图13所示，OG为圆轨道的水平半径.小玩偶中间有孔，孔径略大于轨道直径.现将小玩偶穿在轨道上，在直轨上距离B点x处由静止开始释放.当x＝0.4 m时，小玩偶只能滑到G点.已知AB与水平面成θ＝37°，圆轨道半径R＝0.2 m，CF＝0.8 m，EF＝1.6 m.小玩偶的质量m＝0.2 kg，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m·s－2.

(1)求小玩偶与直轨间的动摩擦因数μ；

(2)当x取值恰当，小玩偶在抛物线轨道运动时机械能损失最少，求这种情况下小玩偶在C点对圆轨道的压力大小；

(3)要使小玩偶在圆轨道部分运动时没有机械能损失，求x的取值范围.

图13

(1)从开始运动到G点，由动能定理有mg(xsinθ－Rcosθ)－μmgxcosθ＝0，得

(2)抛物线轨道上仅受重力时，机械能不损失，设此时经过C点时的速度为v，则由EF＝vCt，CF＝，可得vC＝4 m·s－1.

在C点：FN－mg＝，FN＝18 N.根据牛顿第三定律，小玩偶对圆轨道的压力大小为18 N.

(3)设小玩偶在圆轨道最高点的最小速度为v1，当时，小玩偶经过圆轨道时，机械能守恒.从开始运动到圆轨道最高点，由动能定理可得

当玩偶在圆轨道水平直径以下运动时，机械能也守恒，因此x2≤0.4 m，即0≤x≤0.4 m或x≥1.15 m.

命题者在本题中有一个巧妙的“伪装”设置：小玩偶穿在轨道上做竖直平面内的圆周运动，很容易让同学们通过等效建模，认为是一个“杆子模型”.揭开这个“伪装”的关键是对“要使小玩偶在圆轨道部分运动时没有机械能损失”这句话的理解，意味着小玩偶经过圆轨道时，与轨道的外壁没有摩擦力的作用，也就是说没有弹力的作用.这样，经过圆轨道的过程，只有可能是轨道的内侧对小玩偶有弹力的作用，通过等效可以建立“绳子模型”.如果能意识到这一点，我们就不会被“伪装”迷惑!

回顾这一讲，我们与同学们一起学习了如何用模型来学习物理知识，怎样用模型来建立系统化知识，以及运用模型来解题的一些策略和两个注意事项.概括为一点，就是希望同学们掌握运用模型来高效复习的方法.