李欣
(重庆市江津第五中学校,重庆 402260)
在高中数学教学中,很多数学题目不仅侧重考察学生的逻辑思维能力,更关注学生的解题能力。在高考数学试卷中,单选、判断等题目难度不大,而大题中的最后一问则是区分优等生和普通学生的关键,这种题目较为复杂,需要学生正确掌握解答方法,如果题目为求导问题,利用洛必达法则可以提升解答效率,有利于取得良好成绩。
如果在等式或者不等式中存在两个变量,而一个变量范围已知、另一个变量范围未知,并且可以借助恒等变形把两个变量分别置于不等号或者等号两边,就可以把恒成立问题转化成为函数最值问题求解[1]。
洛必达法则是在特定条件下借助分子分母求导再求极限,进而确定未定式极限值的方法,普遍认为该法则由法国数学家洛必达于1969年提出,不过该法则创造者为瑞士数学家约翰.伯努利,因此该法则也被称作伯努利法则。具体内容为当分子分母都无穷小或无穷大时,两个函数的比极限可能存在也可能不存在,即便极限存在也不可利用商的极限等于极限的商这一法则,所以这种极限称为未定式,如果当x→∞或者x→a,两个函数f(x)和F(x)都会趋于零或者无穷大,则极限被称为未定式。
洛必达法则的定义为在一定条件下,通过分子和分母分别求导再求极限值,以此确定未定值的方法。定理为:①设x→0时,函数f(x)和F(x)都会趋于零;②在a点的某个邻域内 f'(x)和F'(x)都存在并且F'(x)不为0。
在利用洛必达法则的过程中,需要注意如下问题:首先分子分母都必须是无穷小,并且分母和分子都可导;其次分母导数不可为0,导数之比的极限存在[2]。
由于高中数学课程安排较为密集,学时有限,所以洛必达法则没有被安排到高中数学课本当中,而是以课外阅读的形式呈现在课堂当中,部分教师只会简单介绍,不过该法则在高中求极限值的过程中会发挥出重要作用,高中数学试卷中经常会发现洛必达法则在求导中得到利用,比如求解未知数的取值范围就需要先通过不等式求解参数变化范围。在高中数学知识学习中,洛必达法则作为拓展知识,如果能对其有效了解,可以显著提升解答效率。
如题:已知函数f(x)=ln(x+1),曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线方程为y=g(x)。①证明对任意 x∈(-∞,+∞)时,f(x)≤g(x)恒成立,②当x≥0时,f(x)≤ax/(1+x)恒成立,求解实数a的取值范围。
方法1为传统方法,具体说来:当x≥0时,f(x)≤x+ax/(1+x)恒成立,由于x≥0,所以1+x>0,不等式去分母得到(1+x)f(x)≤x2+x+ax,所以(1+x)In(1+x)≤x2+x+ax。
如果G(x)=(1+x)ln(1+x)-x(1+x)-ax,设x+1=t,所以t≥1,那么G(t)=tlnt-(t-1)t-a(t-1),G'(t)=lnt-2t+2-a。
一种情况是,当a≥0时,G'(t)≤0,G(t)在t≥1上为减函数,所以G(t)≤G(1)=0,即G(x)≤0。另一种情况是,当a<0时,G'(t)=lnt-2t+2-a=0,可解得t=to(t>1),当to>t>1时,G(t)是增函数,所以G(t)>G(1)=0和已知存在矛盾,最终得出a<0不满足G(x)≤0。
综合以上条件得出a取值范围为[0,+∞)。
方法2为洛必达法则,具体说来:当x≥0时,f(x)≤x+ax/(1+x)恒成立,即ln(x+1)≤x+x+ax/(1+x)在x≥0成立。
一种情况是,当x=0时,式子成立,此时a∈R。另一种情况是,当>0时,a≥ln(x+1)/x(x+1)-1-x恒成立,即a大于等于G(x)=ln(x+1)/x+ln(x+1)-1-x的最大值,G'(x)=x-(x+1)ln(x+1)-x2/x2(x+1)。
设H(x)=x-(x+1)ln(x+1)-x3,H'(x)=-3x2-ln (x+1)。因为x>0,所以 H'(x)<0,判定 H(x)为减函数,所以H(x)≤H(0)=0。得到G'(x)≤0,也就是G(x)在 x>0是减函数。
综合以上条件得出a取值范围为[0,+∞)。
从以上例题的两种解答方法可以看出传统方式。需要学生全面分析,灵活掌握数学知识。要求学生具有良好的逻辑性和条理性,一旦出现疏忽,将导致解答不全面,而洛必达法则这种方式可以有效解决学生解答过程中出现的问题,有利于学生具备清晰的解答思路。通过构建函数最小值的方法确定参数范围,在解答的过程中尽管需要学生设置几次函数,不过整体解答思路较为清晰。
综上所述,随着新课改的不断推进,对高中数学教学也提出了更高的要求。为了学生在高考中取得佳绩,教师需要适当讲解洛必达法则,以此帮助学生更加全面的掌握数学知识,而洛必达法则又与大学的数学知识存在密切关系,如果学生掌握该方法,同样可以为今后的数学学习打下良好基础。