例谈辩证思想在解数学题中的应用

连锦钊

[摘要]在中学阶段，由于数学基础知识容量增多，方法技巧多样化，在思考解决数学问题的过程中，时常会碰到直接研究、分析、解决问题较困难的情况。为有效地回避解题出现的这种困境，如果能尝试用辩证思想来处理这类问题，一般可以达到较为理想的解决问题的效果。

[关键词]辩证思想;数学题;应用

用辩证思想、技巧、方法观察、分析、理解客观现实世界，有利于更快地接受真实实际问题。数学教学不仅应让每个学生学会基本数学知识技能，更重要的是数学教学要教给学生用数学观点、思想、方法等看待或思考生产生活等实际问题。辩证思想是解决数学问题极其重要的思想。因此，研究辩证思想解决中学数学问题是很有必要的。本文结合平时的数学课程教學，以实例的形式加以分析、说明、总结。

一、正与反思想

如果从正面去思考数学问题比较困难，情况较复杂，那么就可以尝试用逆向思维去思考。

分析：讨论这道题，就应分三种情况，即恰有一函数、恰有两个函数、恰有三函数有零点。其解题过程非常烦琐。反之，从三个函数都没有零点去考虑问题后再求补集就能很轻松地解决问题。

二、数与形思想

“数”与“形”的结合是数学解题的重要思想。如果学会积极采取有效的“数”与“形”的结合或转换，那么就可以创造性地解决困难问题。

四、繁与简思想

例4：讨论不定方程x+v+z=10的解的个数（其中：x、v、z为正整数）。

分析：如果将本题分类讨论，其过程较繁，可能会因顾此失彼而考虑不周，其实本题只要构造简单的组合模型便可以轻松解题。

解：把本题构造成为10个小球排成一排，在其间插入2块隔板把10个小球自然地分成三段，每一段的数目分别就是x、v、z对应值，这样不同插法有C9⁹=36种，因此符合原方程的正整数解一共有36组。

五、主与次思想

有些问题变换主与次的角色后，问题的解决思路更清晰。

八、或然与必然思想

大部分概率主要研究“偶然”中的“必然”，然后用规律性的东西去解决“偶然”的实际问题，这体现了数学或然与必然思想。

例8：元旦节前，一学生在自己家院子里树上挂了两盏灯以增加节日气氛。假设这两盏灯通电后4秒内任何时刻闪烁是等可能的，接着每盏灯每隔4秒一次闪烁。当给这两盏灯通电之后，求这两盏灯第一次闪烁的时刻差不到两秒钟的概率。

可以注意到，随机事件发生的随机性和概率的确定性是随机事件发生的规律问题，体现了或然与必然联系。

九、有限与无限思想

中学数学课程很强调有限性与无限性的对立统一，相关的教学内容比比皆是。下面例举线性规划问题的教学与考查。

本文较为系统地分析了九种辩证思想的解题思路和技法。解题过程中往往渗透着几种重要的数学思想，有利于培养学生多角度、灵活思辨地思考及解决数学问题，摆脱定势思维习惯的困境，提高解题思维品质，培养积极创新的思辨意识。