高中数学导数解题典型性应用

何菊蔚

（江西省龙南中学，江西 赣州 341700）

导数是高中数学的重要组成部分，对于高中学来说也是比较难以接受的知识点，它不仅对于学生的思维逻辑能力有要求，而且对于学生的运算水平和解题速度有要求，要想熟练地运用导数来解决问题，就必须掌握好导数的相关知识点，通过对导数一系列类型题的训练，最终使学生能够熟练地解决导数问题，提高他们的解题速度和能力。本文主要从导数在函数中的运用和在切线中的运用展开的。

一、导数在函数中的运用

导数相对于其他而言，它的运用十分广泛，具体表现在求解函数单调性、单调区间和最值等问题的运用上，通过导数的运用，可以最大限度地降低这些问题的求解，减少过于复杂的步骤，也方便理解。

（一）导数在求解函数中取值范围的应用

众所周知，不等式中是存在较多问题的，不等式问题与函数问题紧密性较大。在高考这个竞技场上，通过这些年的观察，我们发现，学生间的不平等是建立在一定基础上的，主要问题就在于他们之间解题方法不同，在初等数学中，我们用传统的解题方法就能解决问题，但这种方法解题步骤过于繁琐，解题效率不够，处于这种情形下，利用导数解决是最好的办法，既能快速地解决问题，又能使解题步骤明晰化。然而对于不同的问题，导数的使用情形也会有差异，以下是具体实例：

解析：设g(x)=ax-f(x)，在g’(x)大于0的时候，f(x)≤ax.如果a的范围在之间，同时令h(x)=sinx-3ax，可以得＞ax，通过对a取值情况的讨论，可以得出a的范围大小。

（二）导数在求解函数中单调区间的应用

导数对于解决函数中的单调性问题用处很大，导数可以把许多复杂的图像问题简单化，尤其是那些很复杂的问题，用导数去求单调区间比直接求函数的单调区间要容易的多，它具体的步骤如下：首先，将函数表达式直接求导，然后求导数值大于或小于零时对应的值，求出的这个值的两边就是增减相反的两个单调区间，当导数值小于零时，即为单调递减区间，当导数值大于零时，落入的即为单调递增区间。以下是具体的例子：

如果有函数f(x)=-sinx，x∈(0，2π)，求该函数的单调递减区间。

解析：已知某函数，求函数的单调递减区间，用导数可以这样求，先对该函数进行求导，f’(x)=cosx，当导数值小于零时，得f(x)=-sinx，x ∈ (0，2π) 的递减区间。

上述的例子是求函数单调区间的问题，但也存在求方向的问题，比如已知函数的单调区间，要求函数本身的某个未知值。以下是具体例子：

如果有函数f(x)=ax3-3x+1≥0，x∈[-1，1]，求a的大小。

解析：解决这道题的核心就在于要用x去构建一个a的方程式，要使f(x)≥0，那么就要让x与a建立不等关系，当x∈(0，1]，可得因此，假设求导后，可得出g(x)的单调区间，最后可得出g(x)在上递增，在上递减，因此可以看出，当时，函数可以取最大值，为4，我们可以得出这样的结论，当x＞0时，a 最少可以取4，当x＜0时，a最多可以取4，所以a的取值为4。

（三）导数在求解函数中最值的应用

利用导数，不仅可以求函数的取值范围和单调区间，还可以求函数的最值，但要注意，一般求到的是函数的极大值或者极小值，这些值不一定是函数的最值，这点需要特别注意。以下是具体例子：

有函数f（x)=（1-x2)(x2+ax+b)关于x=-2对称，求f（x)的最大值。

解析：要求f（x)的最大值，首先要求出该函数中的未知数，根据给出的条件，可以得出a=8，b=15，然后令函数的导数为0求解，也就是将原函数的导数分解为不等式，可得出)，通过这个分解式便可得出x的值，之后便可知道该函数的单调区间，依据单调性可知，当x=-2+或者-2-时，可能出现函数的最大值，最后通过将两处函数值进行比较得出最终的函数最大值。

二、导数在曲线切线中的运用

如果用最原始的方法求曲线上某一点的切线曲线是比较复杂的，而且曲线不是常规的圆，解决起来没那么容易，但利用导数可以很轻松地解决切线图形问题。我们知道，导数是求变化率，而求曲线的变化率其实是求切线的斜率，针对这类问题一般可以这样求，将某表达式 就行求导，也就是将某点的横坐标带入导数，所得到的变化率就是切线斜率，最后通过直线方程可以画出一条平滑的直线方程。以下是具体例子：

如果有曲线 y=kx+lnx在（1，k)上的切线与x轴平行，求k的值。

解析：该题的解题思路是先将该函数进行求导，再求出曲线的导数式，由于在（1，k)上的切线与x轴平行，也就是说切线的斜率为0，所以直线方程为y’=k+1=0，k=-1.

三、结束语

导数的应用使得数学问题更加简单化，一方面，它可以使数学问题更加明晰简洁，把复杂式子一步步分解，便于思维逻辑的发展，另一方面，通过导数去解决这些数学问题，可以加深学生们对于该知识点的理解，便于将知识点更好地融会贯通，比如求曲线的切线问题，学生通过导数的求解，对于斜率也会有更深地理解。在往后的数学函数或者切线问题中，要学会先思考能不能用导数进行求解，如果能，便可以用导数直接求，如果不能，再采用传统的方法。学会用导数的思维去解决问题，也是高考考试中需要考察的重点，我们的学生需要严格要求自己，认真学习导数，我们的老师也要将方法用到实处，教会学生这几类问题，在切线的问题和函数问题上使他们争取做到从容不迫，游刃有余。