顺应思维生长规律 凸显算理算法生成——《分数乘法》教材解读与教学建议

○刘爱东

《分数乘法》是人教版小学数学六年级上册第一单元的内容，是在学生学习了整数乘法、分数的意义和性质以及分数加法等知识的基础上进行编排的，其教学目标是引导学生探索、理解并掌握分数乘法的意义和计算方法，拓展乘法运算的意义，并能运用所学知识解决一些简单的实际问题。这些是小学阶段重要的基础知识和基本技能。一方面，有关分数的知识和方法都比较抽象，对发展学生的抽象思维能力有着重要的促进作用；另一方面，学好这部分内容，可以使学生进一步体会数学知识和方法之间的联系，丰富对现实世界基本数量关系的认识；同时，也为进一步学习分数除法、分数四则混合运算以及有关分数实际问题打下扎实的基础。

一、关注内容变化，明晰思维起点

与实验教材相比，新教材除了把原《分数乘法》单元中“倒数”的内容移至《分数除法》单元外，教学内容上主要有三个方面的变化。

1.突出乘法意义的扩展，厘清了分数乘法的意义。

传统教学通常把分数乘法的意义分成两个部分进行教学，一是分数乘整数的意义与整数乘法相同，都表示求几个相同加数的和的简便计算，二是一个数乘分数的意义与整数乘法不同，表示求一个数的几分之几是多少。新教材从乘法的本质出发，把分数乘法的意义和整数乘法的意义统一归结为“几个几”（这里的两个“几”既可以是整数，也可以是分数），并用“几的几分之几（几倍）”的语言来描述，既降低了思维的难度，又凸显出数学的本质。

根据这样的思路，教材编排了三道例题来教学分数乘法的意义和计算。例1通过创设分蛋糕的情境，引导学生探索的计算方法。学生通常会根据整数乘法的意义，应用连加的计算方法推导出分数与整数相乘的方法。例2通过回忆旧知“1桶水有12L”“3桶水共多少升”，引导学生根据数量关系“单位量×数量=总量”列出算式12×3后，想“求3个12L，就是求12L的（）倍是多少”，把意义的理解聚焦到“求一个数的几倍是多少”上来。依循这样的过程学习“桶水是多少升”，组织学生结合直观图和分数的意义，探究发现的意义就是求“12L的是多少”，进而得出“一个数乘几分之几就是求这个数的几分之几是多少”。把“一个数的几倍”扩展到了“一个数的几分之几”，使学生理解到分数乘法的意义和整数乘法的意义本质上完全一致，从而完成乘法意义的扩展。在此基础上，例3求“公顷的，列成算式也就水到渠成了。

2.凸显生活实践的需要，增加分数与小数相乘的内容。

实验教材中没有分数与小数相乘的教学内容，但在日常生活和未来的学习中，会遇到许多分数与小数相乘的情况。当分数的分母能够与小数直接约分时，如果学生还是把小数改写成分数再进行约分，或者把分数改写成小数再计算，其繁琐程度和出错概率无疑会大大增加，因此，新教材安排了例5，分别计算和通过教学使学生明白，当遇到分数的分母能够与小数直接约分时可以先约分再计算。这样的编排，一方面有助于学生形成更合理的数学知识结构，另一方面有助于沟通分数与小数之间的联系，有利于促进学生在实际计算中，养成根据数据特点灵活选择计算方法的好习惯，提高运算能力。

3.彰显解决问题的方法，调整了用分数乘法解决实际问题的类型。

新教材在学生理解与掌握“求一个数的几分之几是多少”这一基本问题的基础上，增加了例8“连续求一个数的几分之几是多少”的实际问题。这类问题需要通过“中间量”搭建起已知量和所求量之间的“桥梁”，解决的关键在于，要把较复杂的问题化归为基本的“求一个数的几分之几是多少”，并牢牢抓住这一基本数量的关键要素：这个数是谁？是谁的几分之几？所求到的量是什么？

而求“比一个数多（或少）几分之几的数是多少”的实际问题，与实验教材相比，由两个例题缩减为一个，只安排了例9解决求比一个数多几分之几的数是多少，将“求比一个数少几分之几的数是多少”放在“做一做”中让学生巩固掌握。

二、把握教材特点，彰显数学本质

1.整体建构，前后知识联系紧密。

为了便于组织教学，教材将安排的9个例题整合成三个教学段落。其中，第一段4个例题：例1教学分数与整数相乘的计算方法，例2教学求一个数的几分之几是多少，并由此拓展乘法运算的意义，例3教学分数与分数相乘的方法，例4教学分数乘法中的约分；第二段3个例题：例5教学分数与小数相乘的计算方法，例6、例7教学分数乘法与加、减法混合运算，以及根据运算定律进行分数乘法的简便计算；第三段2个例题：例8教学两步连乘的实际问题，例9教学求比一个数多几分之几是多少的实际问题。第一段重在分数乘法的意义和计算方法，第二段重在分数乘法运算的拓展，第三段重在分数乘法的应用，三个段落循序渐进、层次分明，内在逻辑关系十分清晰。

2.借助直观，丰盈过程外显算理。

教材充分借助几何直观的作用，发挥直观图、连续性直观文本、线段图等易于直接观察和动手操作的优势，使内在的思考过程显性化，让抽象的逻辑思维和空间想象能力得到有效的提升。例1借助直观的蛋糕图和分数的意义，引导学生得出分数乘整数的计算方法。例3借助3幅连续的矩形直观图和分数的意义理解分数乘法的算理，以动态的方式、可视的形式帮助学生理解数与量之间的动态转换。例9借助画线段图的策略，直观显示婴儿每分钟心跳次数与青少年每分钟心跳次数的关系，培养学生利用图形解决分数乘法实际问题的意识和能力。

3.重视素养，解题策略开放灵活。

教材编排在解题方法策略多样化方面十分突出，策略的开放使解决问题从关注形式转到关注本质，避免了学生机械套用公式解题，促使学生把注意力更多地放在解决问题的过程和方法上。例6提供了两种方法，可以先算出一条长与一条宽之和，再乘2求周长；也可以先算出两条长和两条宽，再相加求周长，很自然地呈现出两级运算的题和带小括号的题，再根据“分数混合运算的顺序和整数混合运算的顺序相同”的提示，让学生自主选择喜欢的方法解决问题。例8也提供了两种方法，可以先求出萝卜地的面积，也可以先求出红萝卜地占大棚面积的几分之几。例9可以先求出婴儿每分钟比青少年多跳的次数，也可以先求婴儿每分钟心跳次数是青少年的几分之几。

三、提出教学建议，培育核心素养

1.把计算教学与解决实际问题的教学有机结合。

本单元教材一共安排了9个例题，其中有8个例题是与生活现实密切联系的实际问题。因此，教学中要十分重视联系现实情境，促进学生自主探究、迁移类推、自主建构。教学例1时，可以从切生日蛋糕的情境引入，用“‘每人吃2个，3人一共吃多少个’怎样列式”“分别表示什么意思”“怎样计算”等问题，引发学生重温“整数乘法的意义和分数加法计算”等旧知，并以此为基础，鼓励学生结合蛋糕图，自主类推学习“每人吃个，3人一共吃多少个”，使学生逐步理解分数乘法的算理，掌握分数与整数相乘的计算方法。例8通过求“红萝卜地有多少平方米”这一连续求一个数的几分之几是多少的实际问题，让学生学会分数连乘的方法。这样，结合解决实际问题的教学，引导学生探索并理解分数乘法的意义和计算方法，既有利于联系现实问题情境，深入理解分数乘法的意义，也有利于经历从现实问题中抽象出数量关系的过程，从而积累数学活动经验，感受数学思想方法，发展数学思考和解决实际问题的能力。

2.深度理解分数乘法的算理和算法。

（1）借助几何直观，凸显思维过程。

对于分数乘法的计算，学生的认知难点在于算理的理解，即计算方法形成的过程及其意义的理解。为此，教师要充分借助几何直观，引导学生经历计算方法的探究过程，化抽象、复杂为形象、简洁，正确理解分数乘法的算理和算法。教学例3分数与分数相乘时，可以借助长方形示意图动态呈现运算过程。先让学生通过观察表示数量关系的示意图，并联系分数乘法的意义，提出关于分数乘分数计算方法的猜想，再将一张空白的长方形纸看成1公顷开展操作验证，上下对折后，左右又均分成5份，给其中的一份画上阴影，展开后观察阴影部分占长方形面积的几分之几，就是结果，进一步感知猜想的合理性。接着让学生在长方形纸上表示的计算结果，最后启发学生观察每个乘法算式，以及由画图操作所得到的计算结果，比较、分析每一道算式中积的分子、分母与两个因数的分子、分母的关系，归纳总结出分数乘分数的计算方法。这样的学习过程，符合学生的年龄和思维特点，有助于学生借助直观理解抽象问题的经验的积累。

（2）加强类比归纳，发展数学思考。

数学知识和方法之间总是有内在联系的，主动发现并沟通这种联系，不仅有助于学生更加透彻地理解所学的知识和方法，而且有助于优化认知结构，加深学生对知识本质的理解。教学例2求一个数的几分之几是多少，一方面要通过适当的比较，引导学生认识到它与“求一个数的几倍是多少”看似数量关系不同，但它们的数学本质却是一样的，“几分之几”和“几倍”都表示两个数量之间的比的关系，只是前者比值小于1，后者比值大于1；另一方面，有了上述的经验，学生就有可能自主探索较复杂的分数实际问题。例6、例7分数乘法与加、减法的混合运算，以及根据运算定律进行分数乘法的简便计算，学生在学习整数乘法时都有过类似的学习经验和知识、方法的积累，这里只是把整数换成了分数。教学中，要通过类比归纳，引导学生发现其中的道理，学生自然而然地会把这部分知识同化到已有的知识结构中来。

3.在分数乘法拓展中提高运算能力。

运算能力不仅仅指依据法则和运算律等正确计算的能力，还包括寻找更加简洁的运算方法的意识，以及对运算结果合理性的把握能力。教学中，要注意发挥例题和习题的教学价值，着力引导学生主动发现计算规律，并根据规律合理、灵活地计算。教学例5分数与小数相乘的计算方法时，引导学生在约分前先要认真审题，当遇到分数的分母能够与小数直接约分时要先约分再计算，这样可以使计算简便。教学例8两步连乘的实际问题时，要让学生通过比较懂得，我们可以有两种方法进行计算：一是先把前两个数相乘，再用乘得的积与第三个数相乘，二是根据已有的约分以及乘法运算律的经验，将题中每一个分数的分子和分母分别看成一个整体进行一次性约分，即题中的任意一个分子可以与任意一个分母进行约分，所有分子相乘的积作积的分子，所有分母相乘的积作积的分母。显然，后者更加简洁，需要大力提倡，让学生尽可能掌握这种方法。而例9求“比一个数多几分之几是多少”的实际问题中的两种解法，学生可以根据实际情况灵活应用。

资料存盘

1.《分数乘法》的课标解读。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在“学段目标”的第二学段中提出：掌握必要的运算技能。在“课程内容”的第二学段中提出：能分别进行简单的小数和分数（不含带分数）的加、减、乘、除运算及混合运算（以两步为主，不超过三步）；能解决小数、分数和百分数的简单实际问题；经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法。

2.最早的分数乘法。

最早的分数乘法运算见于中国古代的《九章算术》，该书称分数乘法为乘分，其法则是：“母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。”译为今文是：分母相乘作积的分母，分子相乘作积的分子。用现代的数学符号可表示为：

3.汤斯托尔的分数乘法。

在欧洲，汤斯托尔1552年发表的用拉丁文写的算术书中，说明时，先将正方形垂直地均分成5个长条，然后再水平地均分成5个长条（如图），这样就分成了25个小正方形，其中每一个小正方形的面积是大正方形面积的