一道印度奥林匹克不等式题的再推广

江苏省姜堰中等专业学校 (225500) 包长海 陈 宇

1.原题呈现

2.拓展研究

笔者再将其推广如下结果：

证明：由题设可知s>0,s2=(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca).由(λ+mb)(μ+a)+(λ+mc)(μ+b)+(λ+ma)(μ+c)=3λμ+sλ+msμ+m(ab+bc+ca)；

要证(3)式成立，只需证(4)式右端项与(3)式右端项的差大于0即可.

又因为(9λ2+6msλ+m2s2)(6μ+ms)-[3λμ+sλ+msμ+m(ab+bc+ca)](18λ+6ms)=9msλ2+6m2s2λ+m3s3-6ms2λ-18sλ2-18mλ(ab+bc+ca)-6m2s(ab+bc+ca)=9sλ2(m-2)+3ms2λ(m-2)+3mλ[ms2-6(ab+bc+ca)]+m2s[ms2-6(ab+bc+ca)]≥(3mλ+m2s)[2s2-6(ab+bc+ca)]≥0(∵m≥2).从而(3)成立得证.