一道全国高中数学联赛预赛题的再探究

安徽省岳西中学 (246600) 王和武

文[1]中对2018年全国高中数学联赛重庆赛区预赛试卷第9题进行推广探究，得到了两个精准、有趣的结论，本文再从另一角度将其推广到更一般的情况.

评注：本题按常规思路求解，y1,y2的位置不对称，一般需要求出交点的坐标,有很大的运算量.文[1]中利用一个巧妙的变换,大大的减小了运算量,但不易想到.若先从特殊情况入手猜想出定值，再加以证明，简单易想，是解决该问题的最优方法.

类比考题的证明，还可得到更一般的结论：

将定点从x轴挪到y轴，可以得到：

证明类似于结论1，此处略.类比结论1、结论2，可得到双曲线中也有类似性质：

由上述结论还可推出：

结论6-8的证明类似结论5，感兴趣的读者可自行证明.

著名数学家波利亚说过“好题目和某种蘑菇有点相似之处：它们都成串生长.找到一个以后，我们应该四处看看，很有可能在很近的地方又能找到更多的”，圆锥曲线中的问题大多就是这种“成串生长的蘑菇”，只要你用心寻找定会有更多的收获.