万有引力定律的数学推导

四川省绵阳实验高级中学 伍 欣

本文从开普勒三定律出发，从数学上严格地推导了万有引力定律。

一、开普勒定律

开普勒定律可以简单表述如下：（1）椭圆定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。（2）面积定律：行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过相等的面积。（3）周期定律：所有行星绕太阳一周的时间（即周期）的平方与它们轨道长轴的立方成正比。

运用数学方法解决实际问题的时候，首先需要将实际问题用数学语言描述出来。我们采用太阳为原点的极坐标系（r，θ）进行问题的数学描述，将所有行星和太阳本身都当作质点处理，具体如图1 所示。这是进行数学描述时的一种近似或者理想化，这种近似是合理的，因为太阳的半径比太阳到行星的距离要小得多。

其中，T为行星运动的周期，K为一常数。

相比于（1）式和（3）式，（2）式的物理意义不是那么明显。为了对（2）式的结果做出直观的解释，我们以太阳所在的椭圆焦点为原点，长轴所在的直线为x轴，引进笛卡尔坐标系（x，y），具体如图2所示：

显然，r·s=0，即r⊥s。同样，根据（4）式可得⊥s，那么我们可以得到 ∥r。

这就说明面积定律如果成立，那么行星运动的加速度总是指向或者背向太阳的，反之亦然。

二、万有引力定律

将上式代入（3）式中可得：

由牛顿第三定律，我们知道行星和太阳之间的吸引力为大小相等，方向相反的作用力和反作用力，因此，取方向为正的力来表示它们之间的万有引力。

考虑到两个太阳的作用力是单个太阳作用力的两倍，即太阳与行星之间的作用力与太阳质量成正比，令