有理数中话“负数”

唐荣喜

由于生产、生活中表示“不足”“负债”等实际问题的需要，数学中解决计算“不够减”的问题便应运而生，古代数学家引入了“负数”。负数是数系家族中重要的成员之一，人类对负数的认识与应用经历了漫长的过程，下面我们就来看看古代数学家是如何认识和表示负数的。

中国是世界上较早运用负数的国家，成书于公元前后的《九章算术》，明确给出了正负数概念和加减法则。《九章算术》第八卷是“方程章”，文中出现了科学史上第一次使用负数的记录，由于列出的方程出现了负数，解题过程中又遇到“小”减“大”的情况，正负数运算就不可避免地自然出现了。公元263年，数学家刘徽在《九章算术注》中建立了负数的加减法则，他在文中说明了正、负数的两种记法：一是用红色的算筹表示正数，黑色算筹表示负数;二是以正摆的算筹表示正数，斜摆的算筹表示负数。到了宋元时期，随着方程理论的发展，天元術和四元术中，频繁地运用了正负数，朱世杰的《算学启蒙》“总括”之“明乘除”一节中给出了正负数的乘法法则，他在数的最右的一个算筹上加斜杠表示负，这时负数的记法基本实现了统一。

相对于中国比较自然地接受负数，西方国家对负数的认识最初是排斥的。负数通过阿拉伯人的著作传入欧洲，文艺复兴时期，西方对负数有所了解，但对方程的负根不承认、不接受。被誉为“代数学鼻祖”的丢番图在其著作《算术》中称方程“4x+20=8”是没有任何意义的。法国数学家笛卡尔虽然最早解释和系统地使用了负数，但他仍称之为“假数”，比如方程“z+5=0”，笛卡尔认为它具有“假根”5。在17世纪，法国数学家帕斯卡对负数也持有怀疑态度，他认为从0减去4纯粹是胡说。直到18 世纪，还有一些西方数学家不理解负数，他们坚持认为世界上没有小于“一无所有（即‘0）”的数。到了20世纪，人们对负数才有了比较清晰的认识，负数被定义为小于0的数，负号在更广泛意义上用来表示相反意义的量。1917 年美国数学家亨廷顿在著作中表示整数时记为“……-3，-2，-1，0，+1，+2，+3，……”，给出了当代负数的记法，这时负数的记法才真正实现了统一。中国最终接受现代负号记法已是在辛亥革命之后了。

美国数学家M·克莱因说过：“数学家花了1000年才得到负数的概念，又花了1000年才接受负数的概念。”这足以说明，负数的引入经历了非常曲折、艰难的历程。但是，负数的出现，最终为代数学的发展拓宽了道路。