坐标平面上的二重积分的数值算法

何洪英，张世

(西华师范大学，四川南充 637000)

积分算式决定于积分区域，几个世纪以来，由于没有重积分的数值算法，文献和教材中二重积分的积分区域都相当简单，用极坐标表示的积分区域常常只限于圆，所以本文作了较为详细的介绍.

1 坐标平面上的二重积分算式和通用数值计算公式

坐标平面分为xOy平面，yOz平面，zOx平面和rOθ平面，这里只介绍xOy平面和rOθ平面，且只介绍xOy平面和rOθ平面上的积分并将其简称为二重积分.

xOy平面和rOθ平面上的二重积分的一般算式为：

(1)

(2)

(3)

二重积分与积分变量名无关，所以只须考虑式(1)和式(3).

能找到理论解的定积分不多.能找到理论解的二重积分更少，而且没有通用算法，无法用计算机计算.

定理1当h1=(x2-x1)/n1→0，h2=(g2(x)-g1(x))/n2→0时，

(4)

证明：二重积分理论解的确定过程为，先将外层积分变量视作常量对内层积分积分，将结果作为新的被积函数对外层积分变量积分.

式中当k2为偶数时v=2，为奇数时v=1.

若用复合牛顿积分公式积分，当k1为奇数时v=1,为偶数时v=2.

证毕.

(5)

定理2 当h1=(r2-r1)/n1→0，h2=(g2(r)-g1(r))/n2→0时，若用复合牛顿积分公式计算，则

(6)

式(4)与被积函数无关，令f*(x,y)=xf(x,y)，则有

若用复合高斯积分公式，则有

高斯积分公式中高斯点与所选正交多项式不同而不同，本文只用高斯——勒让德积分，即只选勒让德正交多项式.

欲行积分须先有算式，二重积分算式由被积函数和外层积分上、下限(外层积分变量所取最大值和最小值)及内层积分的上、下限函数组成.式(1)和式(3)与被积函数无关，而且被积函数是用户给定的，所以不必考虑，后者由积分区域决定.

积分区域分为可直接写出积分算式的区域和须分割成若干子区域，各子区域均可写出积分算式的区域两类.

2 可直接写出积分算式的积分区域及算例

这类区域共有八类.

(1) 积分边界为用直角坐标表示的有一边平行于x轴或y轴的曲边三角形.

计算结果如下：

n1n2积分值n1n2积分值n1n2积分值100100-145.209 293500500-145.044 3161 0001 000-145.041 806

(2) 积分区域为一对边平行于x轴或y轴的四边形.

计算结果如下：

n1n2积分值n1n2积分值n1n2积分值10010082.544 27350050082.649 1991 0001 00082.652 512

(3) 积分区域为一边是圆弧，另两边是任意两条用极坐标表示的相交曲线(交点的r值不是区域的最大值，就是最小值)所围成的曲边三角形.

计算结果如下：输入a=2.5

n1n2积分值n1n2积分值n1n2积分值1001000.182 0495005000.182 0631 0001 0000.182 064

(4) 一对边为同心圆弧，另一对边是用极坐标表示的曲线所围成的曲边四边形.

计算结果如下：输入a=2.5

n1n2积分值n1n2积分值n1n2积分值1001000.950 2715005000.950 3101 0001 0000.950 311

(5) 积分区域为曲边两边形，两交点的x坐标或y坐标分别是积分区域的最大值和最小值.

式中θ是方程a(θi+sinθi)-xi=0(i=0,1,…,n-1)的根.

显然θ0=0，θn1=2π，积分计算中要计算n1-1个根，文中用牛顿法计算，由于θi>θi-1，计算θi时，初值取θi-1+ε，ε

计算结果如下：当eps=0.000 001 eps1=0.000 1

n1n2积分值n1n2积分值n1n2积分值1001001.517 4185005001.537 1901 0001 0001.539 658

这是一广义积分，由于e1002已相当接近0，所以实算时外层积分的上、下限分别取100和-100.

计算结果如下：

n1n2积分值n1n2积分值n1n2积分值100100-0.571 325500500-0.694 2541 0001 000-0.694 253

(6) 积分区域是用极坐标表示的曲边两边形，两交点的r坐标分别是积分区域的最大值和最小值.

计算结果如下：输入a=2.5

n1n2积分值n1n2积分值n1n2积分值1001003.158 7075005003.161 8051 0001 0003.162 002

(7) 积分区域为用直角坐标表示的封闭曲线函数.

计算结果如下：输入x0=2，y0=3，a=5，b=4.

n1n2积分值n1n2积分值n1n2积分值10010062.765 37050050062.825 9041 0001 00062.829 750

算例中的积分能得到理论值的很少，本例的理论值为abπ=62.83185，计算值与理论值可比较.

(8) 积分区域的边界为用极坐标表示的封闭曲线(函数).

计算结果如下：输入a=2.5.

n1n2积分值n1n2积分值n1n2积分值100100180.103 879500500179.996 8951 0001 000179.990 496

只有以上八类积分区域可直接写出积分算式.

3 须分割的积分区域及算例

(1) 积分区域为用直角坐标表示的曲边多边形.

将曲边多边形中某些边分成多段，将一个区域变成多个子区域，总可以在每个子区域中选一边的一个端点为核心点，将该子区域其它曲线的端点用直线相连，使其不和其它曲线相交，这样每个子区域就变成若干个最多只有一条边为曲线的三角形组成了.

当这些三角形中有一条边平行于x轴或y轴时，可直接写出积分算式并用式(4)积分.否则必有xA>xB>xC或yA>yB>yC，过点B作平行于y轴的直线，可将之分割成公共边为平行于y轴的两个曲边三角形.

对于最多只有一条直线边，该直线边既不平行x轴又不平行于y轴，则须将其分割成两个公共边平行于x轴或y轴的三角形或公共边平行于x轴或y轴的一曲边三角形和一曲边两边形，同样可写出积分算式和积分.

计算结果如下：

n1n2积分值n1n2积分值n1n2积分值100100-0.190 071500500-0.191 6521 0001 000-0.191754

(2) 积分区域边界是由n条用极坐标表示的曲线连接成的封闭曲线.

分割方法为：选一曲线端点为坐标极点并与其它n-2个端点相连，若能生成n-2个曲边三角形.当曲线是圆弧，则可直接写出算式积分，否则须分割成两块或三块积分.

本例用了三个算法：复合梯形积分公式，6阶复合牛顿积分公式，5阶复合高斯积分公式.三组计算结果如下：输入a=2.5.

组别n1n2积分值n1n2积分值n1n2积分值一组100100-22.221 365500500-22.255 6131 0001 000-22.259 821二组6060-22.222 443120120-22.243 450300300-22.255 853三组5050-22.155 202100100-22.210 515500500-22.253 542

计算结果如下：

n1n2积分值n1n2积分值n1n2积分值1001002.106 0435005002.109 6201 0001 0002.110 072

(3) 积分区域为用直角坐标描述的曲边两边形，但两交点至少有一个的x坐标不是区域的最大值或最小值.

计算结果如下：输入a=2.5.

n1n2积分值n1n2积分值n1n2积分值10101.263 45820201.263 39550501.263 386

例14积分区域如图14所示，被积函数为x2e-y2，积分算式为：

计算结果如下：

n1n2积分值n1n2积分值n1n2积分值10010068.973 16850050069.432 8431 0001 00069.489 116

(4) 积分区域边界为极坐标表述的曲边两边形，一交点不是区域中的最大值.

计算结果如下：

n1n2积分值n1n2积分值n1n2积分值100100-0.014 133500500-0.014 13410001000-0.014 134

4 第一型空间曲面积分

第一型空间曲面积分实际上是空间封闭曲面投影到坐标平面上的积分，也属于坐标平面积分.

这里只介绍空间曲面f(x,y,z)=f(x,y,z(x,y))=0投影到xOy平面的积分.

计算结果如下：

n1n2积分值n1n2积分值n1n2积分值100100554.772 736500500555.307 7821 0001 000555.341 774

5 结束语

文中只解决了坐标平面上的二重积分的计算问题，原因是尚有柱面上和锥面上的积分，以及投影在高为dz的无数微圆柱面上的积分.

文中绝大多数算例都用复合梯形牛顿积分公式计算，原因是复合梯形牛顿积分公式简单.只有一例作者增添了5阶复合高斯积分公式和6阶复合梯形牛顿积分公式计算，否则不能说给出了两组通用数值计算公式.

特别指出复合高斯积分公式不仅可用于用极坐标表示的定积分，还可用于极坐标表示的各种二重积分和三重积分，原因是定积分和重积分与积分与变量名无关.一旦给出了积分算式，各变量就失去了数学意义和物理意义，就都可按直角坐标处理.