例谈平面向量在解析几何问题中的应用

李荣

[摘 要]结合解析几何的典型例题，分析平面向量在解析几何问题中的应用，以帮助学生树立应用向量的意识，使学生在解决几何问题时能快速找到解题思路，大大减少运算量，从而有效解决问题.

[关键词]平面向量;解析几何;夹角范围

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章編号]    1674-6058（2020）32-0032-02

平面向量，堪称数与形的完美统一，也是数学解题的一大神器.在高中数学中，解析几何是强调用代数的方法解决几何问题，是用“数”解决“形”的典范.解析几何问题注重运算，求解过程往往繁杂冗长，若我们能用向量的观点与方法去加以分析，并实施有效转化，那么必将大大减少计算量，从而简化过程.面对解析几何问题，我们要树立应用向量的意识.那么，解析几何中的哪些问题可以考虑用向量法呢？

一、夹角范围问题

点评：本题考查利用定义法求解椭圆方程，与此同时也考查了直线与椭圆的相交关系.本题为证明角为钝角，一般转化为平面向量的数量积的符号问题，在解题时，也要注意直线与圆相切这一条件得出参数满足的等式条件的应用.

二、共线问题

证明三点共线，是解析几何中较为常见且具有一定难度的问题.处理这类问题一般可利用向量共线的充要条件，只需证明三点中任意两点联结后构造的向量满足向量的数乘关系.这类问题常常转化成向量坐标的运算问题.

评注：本题运用了交轨法求轨迹方程，而两条直线方程都是利用向量法求得的，这种方法不仅比其他方法简洁，还更容易理解.

综上可知，在解决解析几何问题时，可以优先考虑向量法，因为它能够帮助我们快速找到解题思路，并大大减少运算量.

（责任编辑 陈 昕）