含间隙天线折展机构模块精度分析

董自瑞，林 飞，侯 鹏，陈金宝，刘虎林

（1.上海卫星装备研究所，上海 201109；2.南京航空航天大学 航天学院，江苏 南京 210016；3.上海航天电子技术研究院，上海 201109）

0 引言

折展机构具有收纳率大、重量轻、精度高等特点，被广泛应用于柔性太阳能帆板、星载天线、太空望远镜等空间设备的支撑装置中，其展开精度是保障系统正常运行的关键参数指标［1-3］。常见的折展机构主要由连杆经转动副铰接而成，但是由于加工误差的存在，为保证良好的转动性能，转动副的孔和轴之间不可避免地留有一定间隙，使机构在运动学上表现出不确定性［4-5］，直接影响着机构的展开精度。

对于转动副间隙对机构的影响，已有大量学者进行了研究，但是其研究对象主要为单闭环机构［6-7］，而折展机构一般为多环闭链机械系统，具有环约束相互耦合、参数关系复杂等特点［8］，对其展开误差的分析存在高非线性、强耦合等问题，单闭环的分析方法难以直接适用。目前，对于多环闭链机构的精度分析虽然已有学者对其进行了探索，但是研究成果不多，有待进一步完善，如文献［9］基于最小弹性势能法和拉格朗日乘子法，给出了杆件变形及其尺寸误差引起的展开精度分析方法，而未考虑运动副间隙的影响。文献［10］基于矩阵法和粒子群优化算法实现了多环闭链的解耦，但仅讨论了含运动副间隙时的最大展开误差。文献［11］采用螺旋理论给出了含转动副间隙的多环闭链机构精度分析的通用方法。文献［12］通过采用冗余驱动控制使运动副间隙对机构的影响最小化，但其引入了多余的自由度和驱动，控制难度大，且改变了机构的构型。

本文通过将转动副间隙等效成“无质量杆”建立含间隙的折展机构等效模型，根据约束关系不变原则，将多环闭链拆分成多个单闭环，基于D-H 法建立其几何关系，运用蒙特卡洛法模拟加工误差和含间隙转动副的状态，对其展开误差进行分析。

1 含间隙折展机构构型

本文采用如图1 所示的折展机构模块化单元作为研究对象。该折展机构含6个基本单元肋组成（2 个横向肋、2 个纵向肋和2 个纵向辅助肋），单个模块可进行拓扑成所需要抛物柱面构型。

图1 折展机构单元模块Fig.1 Unit module of the folding mechanism

基本单元是实现整个天线支撑机构折展功能、保障展开精度的基础，其折展原理如图2 所示。该机构由弹簧力推动滑块A 沿y轴正方向运动，进而带动各连杆运动使机构逐步展开，直到连杆DE触碰到机械限位点H，机构停止运动。此时，连杆DE与连杆QD共线，机构展开到位且处于自锁状态，拉索张紧提供张力。图中，M1点和M2点为天线金属网的固定位置，展开状态下，这两点的位置精度直接决定着天线的型面精度。

图2 折展机构基本肋单元Fig.2 Basic rib element of the folding mechanism

折展机构单元肋基本单元包含1 个滑动副和9 个转动副，自由度为1。由于运动需求及制造误差的存在，各运动副均存在间隙，使机构的运动存在一定的不确定性。为提高运动可靠性，滑块处为直线轴承与轴精密配合，间隙极小，可忽略该处间隙，因此，简化后的模型仅存在转动副。

2 含间隙转动副等效模型

折展机构肋基本单元展开到位后其位姿确定，即各连杆处于受力平衡状态，各转动副符合接触假设，即孔和轴始终保持接触。因机构运动过程受力和冲击较小，各构件刚度大，可视为多刚体系统，故采用“无质量杆”等效模型［12］描述间隙转动副，如图3 所示。将孔和轴的偏心距等效成长度为ri的“无质量杆”，其两端分别与孔和轴的中心铰接。

ri由孔和轴的配合公差确定，是服从正态分布的随机变量。根据3σ准则，认为ri的取值几乎全部集中在(μ-3σ，μ+3σ)区间内，则ri的均值μi和标准差σi确定如下：

图3 转动副间隙等效模型Fig.3 Equivalent model of the rotating pair clearance

式中：max(ri)、min(ri)分别为孔和轴之间的最大间隙和最小间隙。

根据D-H 法建立相应的坐标系，确定各杆件方位角θi、θj的正方向。其中，θi为“无质量杆”OiOi'相对于连杆i的方位角，θj为连杆j相对于“无质量杆”OiOi'的方位角，且满足

式中：α为含间隙转动副连接的连杆j相对于连杆i的方位角。

3 自由状态下的展开误差模型

当不考虑拉索张力、弹簧力等作用力对机构中各间隙转动副的孔和轴的相对位姿的影响时，即“无质量杆”处于自由状态，其方位角θi在[-π，π)内服从均匀随机分布，且任一时刻θi为定值，则根据“无质量杆”等效模型构建的含转动副间隙的折展机构等效模型如图4 所示。由于“无质量杆”固定不动，因此，折展机构自由度仍为1。受D点处的转动副间隙影响，折展机构展开到位后，连杆DE相对连杆Q'D偏转了角度β，如图5 所示。

根据正弦定理，有

图4 自由状态下含间隙的折展机构等效模型Fig.4 Equivalent model of the folding mechanism with clearance in free state

图5 转动副D 处的间隙等效模型Fig.5 Clearance equivalent model atD of the rotating pair

由式（3）解得

根据D-H 法的定义有

式中：θD为连杆DD'相对于连杆Q'D的方位角；θD'为连杆D'H相对于连杆DD'的方位角；rD为铰接点D处孔和轴的偏心距；lDH为DH的距离。

为便于分析计算，根据约束不变原则，将图4 所示的折展机构等效模型拆分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ3 个单闭环进行分析，如图6 所示。

图6 拆分后的单闭环结构Fig.6 Single closed-loop structures after split

令

jTi表示坐标系oj-xjyjzj到坐标系oi-xiyizi的齐次变换矩阵。根据D-H 法分别在闭环Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ内各转动副上建立动坐标系oi-xiyizi，则两坐标系之间的齐次变换通式为

其中，

式中：lj为oj沿xj到oi的测量距离；ωj为zj沿xj到zi的旋转角度；di为xj沿zi到xi的测量距离；θi为xj沿zi到xi的旋转角度。

因此，折展机构上各点在固定参考坐标系o-xyz内有如下关系：

闭环Ⅰ

闭环Ⅱ

闭环Ⅲ

由于机构为封闭环，滑动副A无间隙，因此，需满足如下约束条件：

此外，由于转动副间隙导致了含间隙转动副连接的连杆j相对于连杆i的方位角相对理论值α0偏转了αr，因此，式（2）可写为

式中：α0为定值；αr为一定范围内的均匀随机变量，其范围由转动副间隙大小确定，取值较小。

则自由状态下间隙引起的展开误差为

式中：[xi，yi，zi]T为点i相对固定参考系o-xyz的理论坐标值。

4 展开误差求解

4.1 几何参数

根据选定的轴孔配合公差，折展机构各转动副间隙值ri的取值范围为0.01～0.04 mm，转动副相对固定参考系o-xyz的理论坐标值见表1。

4.2 自由状态下展开误差求解

各铰接点的间隙量为0.01～0.04 mm，采用蒙特卡洛法模拟各转动副间隙及各杆件方位角的取值，大量获取满足约束的折展机构展开位形（104种），求解相应的展开误差δf，计算结果如图7～图9 所示。

表1 转动副理论坐标位置Tab.1 Theoretical coordinates of the rotating pairs

图7 X 轴方向上的展开误差分布Fig.7 Unfolding error distribution in theX-direction

图8 Z 轴方向上的展开误差分布Fig.8 Unfolding error distribution in theZ-direction

如图7所示，在Z方向误差均值为μfx=-0.005 6 mm，标准差为σfx=0.034 4 mm，误差最大值为δfx=0.111 1 mm。如图8 所示，在Z方向误差均值为μfz=0.024 2 mm，标准差为σfz=0.091 5 mm，误差最大值为δfz=0.339 3 mm。由此可见，转动副间隙对该展开机构在Z方向上的展开精度影响较大。如图9所示，网面支撑点M2综合误差（实际位置点与理论位置点的距离）的均值和标准差分别为μfl=0.083 3 mm、σfl=0.056 8 mm，最大误差为δfl=0.353 7 mm。

当不考虑受力时最大误差为0.353 7 mm，误差均值为0.083 3 mm，由于天线在单方向上由2 个相同的单元组成，因此，天线整体误差可近似为多个单元误差的简单叠加，即整体最大误差值为0.707 4 mm，说明了整体天线折展机构精度在有效范围内误差很低。

5 结束语

本文利用“无质量杆”模型建立了自由状态下含间隙折展机构的等效模型，根据约束关系不变原则，对该模型进行了分解；基于D-H 法建立了各单闭环模型之间的几何关系，实现了多环闭链机构的解耦；运用蒙特卡洛法模拟加工误差和含间隙转动副的状态，对其自由状态的展开误差进行了求解分析。经过计算分析可知，转动副间隙对折展机构单元肋展开在Z方向上的展开精度影响较大，单元肋展开最大误差为0.353 7 mm，折展机构模块整体误差最大值为0.707 4 mm，为抛物柱面天线设计精度提供了参考。