例谈含根式函数值域的求解方法

■葛云云

求函数值域是高考的重点及热点，很多问题最后都转化为求函数的值域得以解决。其中求含根式的函数值域是特殊的一个类型，平常大家碰到的频率也较高，其求解思路多样，方法多变，下面对这一类问题的几种求解策略进行举例分析。

一、函数单调法

例1求函数的值域。

解：函数的定义域为由复合函数的单调性可知，在定义域内是单调递减的，所以函数y=在定义域内是单调递增的，故其值域为。

启示：利用函数单调性求解函数问题是最常用的方法，解题时可预先判断函数的单调性，充分抓住函数的相关性质。

二、换元法

例2求函数y=x-的值域。

解：该题与例1相差一个符号，若利用单调性求其值域，会发现在定义域内，为单调递减，故函数整体的单调性不显著。此时，可采取换元法，令t=，且t≥0，则，所以y=。该函数为开口向上的抛物线一部分，最小值取在对称轴t=1 处，故其值域为[-1，+∞)。

启示：换元法可将含根式函数变为初等函数，而初等函数值域的求解一般较为简单，需要注意的是换元后的新函数定义域发生了变化。

三、平方法

例3求函数的值域。

解：先找到函数的定义域为[-1，1]，将函数两边进行平方，可得y2= 2 +，发现[0，1]，因此y2∈[2，3]，最后得到函数的值域为。

启示：该种方法适用于两个根式内x项的系数恰好互为相反数的情况，因其平方后，平方项的和可变为常数。此外，变量x便集中在一个根式内，可有效降低分析难度，利于值域的顺利求解。

四、导数法

例4求函数的值域。

解：该题和例3也相差不大，为两个根式相加，若采用平方法，变量x还是没能全部集中于根号内，不利于求解值域。此外，其单调性也不直观，可采用导数法。函数的定义域为，对函数求导得，得，此时函数在该区域内递减，同理可得函数在上递增。故其值域为。

启示：利用导数寻找函数的单调性，通过单调性得到值域。这种方法应该是求函数值域时万能的方法，一般用在函数较为复杂或者其单调性不显著时。

五、小结

求解函数的值域是一个非常基础且重要的知识点，不同类型的函数，在求解值域过程中所使用的方法不尽相同，这与函数本身的性质密切相关。含根式的函数只是众多函数中的一种外在表现类型，可以肯定的是，上述所提到的方法对其他类型的函数也有适用的地方。此外，同一函数也存在多种求解值域的方法。