不等式热点题型解读

■徐东辉

不等式的性质运算作为解答不等式问题的重要工具，其考查方式往往渗透于不等式问题的解答过程中，一般不会单独考查。所以，不等式考查的热点就集中于基本不等式(均值不等式)与二次不等式及其应用，因此同学们对这两个内容应当重点认知与掌握。

一、不等式的性质运算

例1若a＜b＜0，则下列不等式成立的是( )。

A.b+＜a+

B.a2＞b2

C.|a|+|b|＞|a+b|

D.ln -a( )+ln -b( )＞0

解：由a＜b＜0可得，所以b+，A 项错误。由-a＞-b＞0可得-a( )2＞ -b( )2，即a2＞b2，B 项正确。因为a＜b＜0，所以|a|+|b|=-a-b=|a+b|，C 项错误。因为a＜b＜0，所以ab＞0，又ln -a()+ln -b()=lnab，而lnab∈R，D 项错误。答案为B。

二、基本不等式(均值不等式)求最值

例2已知函数有最大值，当x为何值时，函数f x( )有最大值并求其最大值?

解：f(x) == (x-1)+，因为-2＜x＜，所以x-1＜0，1-x＞0。所以f x( )=-(1-x)+≤，当且仅当x-1=，即x=时等号成立。所以当x=时，函 数f x( )有最大值，其最大值为。

三、二次不等式的应用

例3已知二次函数f(x)=ax2+bx+c，函数F(x)=f(x)-x的两个零点为m，n(m＜n)，则：

(1)若b=-2，c=6a，且f(x)＜0的解集是{x|x＜-3或x＞-2}，求a的值。

(2)若m=-1，n=2，求不等式F(x)＞0的解集。

(3)若a=1，b=-2λ，c=λ-1(λ∈R)，对于任意的x∈[0，2]，不等式f x( )≤λ恒成立，求λ的取值范围。

解：(1)若b=-2，c=6a，则f x( ) =ax2-2x+6a。因为不等式f x( )＜0 的解集是{x|x＜-3 或x＞-2}，所以-3，-2是方程ax2-2x+6a=0 的两根。因此，解得。

(2)F x( )=f x( )-x=a(x-m)(xn)，当m=-1，n=2 时，不等式F x( )＞0，即a(x+1)(x-2)＞0。当a＞0时，不等式F x( )＞0的解集为{x|x＜-1或x＞2}；当a＜0 时，不等式F x( ) ＞0 的解集为{x|-1＜x＜2}。

(3)因为a=1，b=-2λ，c=λ-1，所以f x( )=x2-2λx-1+λ，于是f x( )-λ=x2-2λx-1。要 使“∀x∈[0，2]，不 等 式f x( )≤λ恒成立”，则只需“x2-2λx-1≤0在[0，2]上恒成立”。设g x( )=x2-2λx-1，于是问题转化为只要g x( )≤0在[0，2]上恒 成 立 即 可， 所 以即解得，故λ的取值范围为。