巧用“活水”引“抽象”——谈抽象函数定义域的学习

■王雪萍

高中阶段抽象函数的第一课是求其定义域，由于刚进入高中的学生逻辑思维能力不强，上完课后仍无法理解本节内容，有的通过死记硬背老师总结的求法结论，导致最后不求甚解。因此，在学习这一节课时，我们可以从熟识的已知函数解析式的定义域出发，以题(知)出发，题(知)情交融，能收到很好的学习效果。

1.新知引入

经过一段时间的学习，同学们已经学习了如何求已知函数的定义域，下面让我们一起来求函数的定义域。

分析：由x-9≥0，易得f(x)的定义域为9，+∞[ )。

分析：由x2-9≥0，得x2≥9，所以x≤-3 或x≥3，则f(x2)的 定 义 域 为(-∞，-3]∪[3 ，+∞)。

评析：由求函数f(x)的定义域过渡到求函数f(x2)的定义域，可以使同学们从实例中体会定义域是函数自变量的取值集合，两个函数解析式中自变量x的意义不同，为接下来的抽象函数定义域的求解形成“形”的认知。

接下来我们求函数f(2x+1)的定义域。

分析：要求函数f(2x+1)的定义域，先求其解析式得x≥4，所 以f(2x+1)的定义域为[4 ，+∞)。

小结：由函数f(x)的解析式，求函数f[g(x)]的定义域，只需将g(x)“整体”作为“自变量”代入f(x)的解析式，化简求其自变量x的取值集合即可。

思考：若已知函数f(x)的定义域为[9 ，+∞)，如何求函数f(x2)，f(2x+1)的定义域呢?

此时函数f(x)已无解析式可以代入，进而过渡到新的学习目标——抽象函数的定义域。通过观察实例中定义域的求解过程可以得出：函数f(x)的定义域由x-9≥0 得出，f(x2)的定义域由x2-9≥0得出，f(2x+1)的定义域由(2x+1)-9≥0得出。那么求函数f[g(x)]的定义域呢? 可由g(x)-9≥0得出g(x)≥9，进而解出关于x的不等式，得出f[g(x)]的定义域。

从具体实例中，同学们可以充分体会到函数f(x)与f[g(x)]中的“x”含义不同，它是用同一字母来表示两个不同函数的自变量，在对应关系f作用下引例中的g(x)(x2，2x+1)的范围和x的范围相同，而函数的定义域是对自变量x而言的。从而完成由具体函数定义域的“活水”引入抽象函数定义域的理性思维，使同学们体验了思维产生的过程。

2.典例归纳

例1已知函数f(x)的定义域为-2，2( )，求函数f(3x-2)的定义域。

参考答案：f(3x-2)的定义域为。

小结：已知函数f(x)的定义域为D，求函数f[g(x)]的定义域是使函数g(x)∈D的x的取值范围。

例2已知函数f(3x-2)的定义域为[ -2，4]，求函数f(x)的定义域。

参考答案：f(x)的定义域为 [ -8，10]。

小结：已知函数f[g(x)]的定义域为D，求函数f(x)的定义域即为求x∈D时函数g(x)的值域。

例3已知函数f(x+1)的定义域为[ -2，3)，求函数f(2x-3)的定义域。

参考答案：f(2x-3)的定义域为。

小结：已知函数f[g(x)] 的定义域为D，求函数f[h(x)]的定义域即求x∈D时函数g(x)的范围，即为h(x)的范围，进而求x的取值集合。