智能电网实时电价社会福利最大化模型的研究

高 岩

(上海理工大学管理学院，上海 200093)

1 引言

传统能源日益短缺和环境污染日趋严重等问题促使各国大力发展环境友好的可再生能源，以减少对传统能源的依赖和降低环境污染，确保社会和经济可持续发展。电力系统要求供需实时平衡，随着可再生能源容量快速上升，特别是其随机波动性并网，对电力系统安全、高效运行带来了巨大的挑战。另一方面，相对较短的用电尖峰时刻消耗着较大比例的电力资源和成本，事实上电力成本主要取决于耗电的尖峰时刻，解决这一问题的有效措施是削峰填谷。因此，仅依靠供给侧的调节能力很难完全实现供需平衡，由此推动了现代电网环境下的新型管理问题：需求侧管理(Demand Side Management)。所谓需求侧管理，是指供电侧和需求侧之间相互协作以调节用户的用电时间和方式，达到削峰填谷，增加用电效率，在保证用电效用前提下减少电力消耗，达到节约能源的管理活动。需求响应是需求侧管理的解决方案之一，是指通过调整电力价格或者给予补偿手段引导用户依据价格信号，主动做出的转移或削减负荷行为，最终实现节约、高效用电的目的，同时对电网的安全可靠和稳定运行也起到促进作用。需求响应的核心是价格响应，近年来电力产品的定价机制受到国内外学者的广泛关注和研究[1-6]。实证研究表明，基于需求响应的价格机制极大地促进了可再生能源的开发和利用[7]，有效地保证了电力系统的供需平衡[8]。

基于需求响应的电力定价机制主要包括分时电价、关键峰荷电价、自适应电价和实时电价(RTP)。供电侧根据电力供需状况，制定价格，激励用户在低谷时段用电，削减峰值负荷，达到削峰填谷的目的[1-3,5,8]。定价策略研究主要从两方面进行，一方面是从电力市场化的角度考虑，采用商业定价机制，利用博弈论和双层优化方法[9-12]。另一方面从公共产品角度考虑，采用追求社会效用最大化的定价机制，解决这类问题的有效方法是社会福利最大化模型，基于影子价格理论，利用对偶优化方法[13-20]。

在市场化方法中, 将供电侧作为博弈一方，电力用户作为博弈的另一方，建立相关的博弈模型并给出求解方法，从而得到双方或多方接受的价格。这方面研究工作主要包括：对于一般电力系统建立合理的博弈模型和设计有效的求解方法[9-11]，对于一些复杂系统，例如含有可再生能源、含有电力存储设备等系统建立有针对性的博弈模型和设计有针对性的求解方法[12]。

基于政府定价和政府制定指导价格原则，社会福利最大化方法广泛应用于能源、环境等公共产品的定价，早在上世纪六十年代就被用于研究电力产品定价[21]。文献[13]首先建立了智能电网实时定价的社会福利最大化模型，该模型是以用户用电量为决策变量的凸优化，因此可以利用对偶方法求解。之所以要利用对偶方法，因为对偶方法不仅可以求解决策变量本身，同时还可以求解相应的拉格朗日乘子，拉格朗日乘子作为电能的影子价格正是我们要计算的价格。

文献[13]给出的方法能够实现的前提是每个用户要有明确的效用(utility)函数，同时所有效用函数要向供电侧公开。从实际应用角度来讲，每个用户，特别是家庭用户很难给出一个解析形式的用电效用函数；从保护用户个人隐私角度讲，用户不一定愿意向供电侧提供其个人用电效用信息。为此，文献[14]提出了一个在线算法，在在线算法执行过程中，不需要公开用户的具体效用函数，只需用户根据不同的价格实时提供他们的计划用电量，然后供电侧根据用户提供的计划用电量再给出修正的电力价格，循环这一过程即得到用户和供电侧双方都可接受的价格。在线方法的实现前提是用户与供电侧之间可以实时信息互换。信息互换的完成在硬件方面由智能电表来完成，在模型方面要求相应的拉格朗日函数具有可分离性，而社会福利最大化模型恰恰满足这一性质。在线方法的出现，使得社会福利最大化方法具有了真正的可应用性。

为更精确的描述实际问题，一系列研究推广文献[13]给出的基本社会福利最大化模型，主要工作包括：对用户进行分类：分为家庭用户、工业用户、商业用户、装备电力存储设备用户、含有部分可再生能源(例如太阳能等)用户[15]，不同的用户可以选取不同类型的效用函数；对电器进行分类：分为必须按时、按量使用的电器、可调整使用时间的电器、可调整使用电量的电器[20]。另外，还有文献考虑带有随机因素，即载荷不确定问题[16]。这些社会福利最大化模型仍然是凸优化，同时其拉格朗日函数具有可分离性，仍然可以以利用在线对偶方法求解。

依据社会福利最大化模型制定实时电价不仅需要求解优化问题本身，同时还要求解相应的拉格朗日乘子，特别是其计算过程为在线算法，用户与供电侧之间实时进行信息互换，在每一个时段内都要反复求解优化问题，直至达到精度要求，除计算量巨大以外大，还需要快速计算。为此，近年来许多学者对社会福利最大化模型算法进行研究，其研究工作应然在对偶方法框架下展开。研究工作主要包括：对对偶算法中的次梯度法进行改进[15]；利用光滑函数逼近对偶问题中的非光滑函数；借鉴ADMM方法技术[17]；对不同模型设计有针对性的算法[15,20]。相关文献仿真试验表明，这些新方法的提出大大改进了社会福利最大化模型的求解速度，具备求解较大规模的实际问题。

实时电价早期也称为动态电价[22]，这种实时电价也包括在较长时段上的价格变化，例如按白天与夜晚，冬季与夏季等划分时段，每个时段制定不同的电价。这种意义下的实时电价研究有较长的历史，取得了一系列有意义的研究成果[23]。本文讨论的实时电价理论上指每时每刻都可以改变的电价，是近年来在智能电网环境下，特别是有智能电表等先进计量、通讯工具的支撑，人们关注的研究问题。不同于其他定价方法，实时电价定价方法的确定需要快速响应，因此相关的算法必须具有很高的计算效率。主要基于两方面考虑，在每一个时间段需要确定一个电价，如果计算速度不够充分快，势必拉长时间段划分，导致失去实时定价的意义；在每一个时间段内电价的确定通过供电侧与用户信息互换实现，需反复求解优化问题，计算量巨大。

在社会福利最大化模型中将电力作为资源，利用影子价格理论确定其价格。然而，与一般的自然资源不同电力资源本身也需要生产成本，供电侧由于技术和成本等原因(例如某些发电机组不可能随时启动和关闭)客观上存在一个供电量下限(即最小发电量)。现有的社会福利最大化方法研究中，有些模型含有供电量下限，将其作为一个约束条件，另外一些模型忽略了供电量下限，减少一个约束条件，相应的计算量有所减少。究竟供电量下限在社会福利最大化作用如何，在约束中是否可以去掉？目前在理论上还没有研究。在社会福利最大化在线对偶算法中，由于要反复计算相应的优化问题，整体计算量巨大，因此从计算量角度考虑，对社会福利最大化基本模型的任何简化、改进使其更加快速、高效对整体计算量的减少无疑都是非常有意义的。本文将在理论上讨论供电量下限在社会福利最大化模型中的作用，在符合通常实际情况的假设下，得到去掉供电量下限的等价模型。同时我们将讨论简化的模型仍然满足实现在线对偶算法所需条件。

2 影子价格和效用函数

2.1 影子价格和拉格朗日乘子

影子价格是指当社会经济处于某种最优状态时，能够反映社会劳动的消耗、资源的稀缺程度和最终产品需求情况的价格[24]，因此影子价格是较交换价格更为合理的价格。从定价原则来看，影子价格能更好地反映产品的价值；从反映市场供求状况方面，影子价格反映资源稀缺程度；从价格产出的效果来看，影子价格能使资源配置向优化的方向发展。从最优化度来讲，影子价格是相关优化问题的拉格朗日乘子[25,26]。

考虑下述优化问题：

(P) maxf(x)

s.t.gi(x)≤bi,i=1,…,m

其中f(x)，gi(x),i=1,…,m为Rn上的连续可微函数，bi,i=1,…,m为常数。如果x*为优化问题(P)的最优解，在一定条件下，例如-f(x)，gi(x),i=1,…,m为凸函数及满足Slater约束品性，则存在一组不全为零的常数λ1,…,λm≥0，使得

(2.1)

λigi(x*)=0,i=1,…,m

(2.2)

其中λ1,…,λm称为拉格朗日乘子[25,26]。

在问题(P)中如果目标函数f(x)代表收益(效用)，约束函数gi(x)代表第i种资源消耗，常数bi代表第i种资源总量限制，变量x代表资源使用的数量，则此时拉格朗日乘子λi为第i种资源的影子价格[25]。

对偶方法是最优化中一个重要方法，它不仅可以求解优化问题的决策变量，同时还可以求解拉格朗日乘子[26]。因此，关于影子价格的计算一般利用对偶方法，如果直接求解KKT系统(2.1)和(2.2)也可以利用非光滑方程组的牛顿法[27]。

2.2 效用函数

效用函数U(x)表示消费者在消费过程中所获得的效用与所消费的商品数量x之间的关系，其目的是衡量消费者从消费既定商品中所获得的满足程度。在经济学中通常考虑效用函数U(x)满足如下两个基本假设[24]：

在现有的实时定价模型中，电力用户的效用函数主要采用如下的二次函数：

(2.3)

其中x代表用户的用电量，α和ω为常数，ω称为用电弹性系数；电力成本函数C(L)为严格单增的凸函数，其中L为供电量，目前成本函数普遍采用二次函数：

C(L)=aL2+bL+c

其中a,b,c给定的常数[6,13,16]。

2.3 社会福利最大化模型

文献[13]以所有用户的效用之和与电能成本差的最大化建立如下优化模型：

(2.4)

优化问题(2.4)中目标函数为全社会总福利，约束条件为全部用户用电量不超过供电能力，其含义是如何用电使全社会福利最大化，称为社会福利最大化模型。由于各个时段是相互独立的，问题(2.4)可以等价地转化为对每个时段k求下面的优化问题：

(2.5)

共需要求解K个优化问题。这说明求解优化问题(2.4)本质上是分布式方法。优化问题(2.5)的含义是在时段k上的全社会福利最大化。

另一方面，现有的一些文献在模型(2.5)中没有考虑最小供电量约束，即讨论下述模型[6]：

(2.6)

在问题(2.6)中，Lk称为发电能力，事实上相当于问题(2.5)中的最大供电量。

3 最小供电量

为叙述简便，在优化问题(2.5)中省略时段指标，记为如下形式：

(3.1)

在优化问题(3.1)中x=(x1,…,xN)T∈Rn和L∈R1为变量。

为了简化问题(3.1)的约束条件，考虑下述优化问题：

(3.2)

定理3.1如果(x*,L*)，其中x*∈Rn，L*∈R1，为优化问题(3.1)的最优解，则x*为优化问题(3.2)的最优解；如果x*为优化问题(3.2)的最优解，则存在L*满足Lmin≤L*≤Lmax，使得(x*,L*)为优化问题(3.1)的最优解。

证明设(x*,L*)为优化问题(3.1)的最优解，则对任何满足：

(3.3)

的(x,L)，有：

(3.4)

(3.5)

这说明x*为优化问题(3.2)的解。

设x*为优化问题(3.2)的解，则对任何满足

(3.6)

的(x1,…,xN)T，有

(3.7)

(3.8)

定理3.2优化问题(3.2)与优化问题(3.8)等价。

即在可行域内问题(3.2)与问题(3.8)的目标函数相同，故优化问题(3.2)与优化问题(3.8)等价。定理得证。

根据定理3.1和定理3.2，社会福利最大化模型(3.1)等价于优化问题(3.8)，以下基于优化问题(3.8)讨论去掉最少用电量Lmin是否对社会福利最大化模型产生影响。考虑下述优化问题：

(3.9)

为建立优化问题(3.8)与优化问题(3.9)的等价性，需要引入下面符合实际背景的一个假设。

定理3.3如果假设3.1成立，则优化问题(3.8)与优化问题(3.9)等价。

在假设3.1成立前提下，根据定理3.1，定理3.2，定理3.3社会福利最大化模型(3.1)可等价地转化为优化问题(3.9)，此时求解社会福利最大化问题(2.5)可等价地转化为求解优化问题(3.9)。与优化问题(2.5)比较，优化问题(3.9)减少了一个区间约束和一个变量。

假设3.1不成立说明对于用电系统即使最小供电量也有剩余，这时优化问题(3.9)的最优解x*在小于最小供电量Lmin处达到，此时如果用户再增加用电量其效用也不增加，按照影子价格体现资源的稀缺性特性，此时电量的影子价格为零。当然，影子价格只作为实际定价的参考，此时价格如何具体确定属社会管理问题不在本文讨论范围。求解优化问题(3.9)有如下两种情况：如果问题(3.9)的最优解x*

4 简化模型在线算法可实现的讨论

前面的讨论说明社会福利最大化问题(3.1)可等价地转化为求解优化问题(3.9)，优化问题(3.9)在每一个时段定价过程中反复出现，因此对整体计算量的降低起到一定作用，当然前提是(3.9)仍然可以利用在线对偶优化方法求解。下面我们说明优化问题(3.9)仍然满足在线对偶算法所需条件，于是可以利用在线对偶优化方法求解。

图1 效用函数

图2 成本函数

在求解优化问题(3.9)对偶方法中，首先构造拉格朗日函数：

(4.1)

其中λ为拉格朗日乘子。然后，求解下述极小极大问题:

综上讨论，用优化问题(3.9)代替社会福利最大化模型，不仅减少了计算量，同时满足在线对偶算法的条件，仍然可以使用对偶在线算法。

5 结语

在智能电网实时电价的社会福利最大化方法中，现有的模型一种同时含有最小供电量和最大供电量约束，另一种模型出于简化目的只含有最大供电量约束。本文在理论上对最小供电量约束在模型中的作用进行了讨论。通过引入有效成本函数，在一个符合实际应用的假设下证明了同时含有最小供电量和最大供电量约束模型与只含有最大供电量约束在求解影子价格意义下的等价性。从而在社会福利最大化模型中去掉了最小供电量约束，与同时含有最小供电量和最大供电量模型比较，这一模型减少了一个区间约束和一个变量，降低了问题规模。同时，这一模型仍然满足在线对偶优化方法所需条件，可以利用在线对偶方法求解。本文的研究针对基本的社会福利最大化模型，事实上改进、推广的社会福利最大化模型本质上是在优化问题(2.5)基础上增加一些辅助约束和对目标函数进行改进，从论证过程易见本文所获得的结论完全可推广到各种改进、推广的社会福利最大化模型。