“五步问题学讲方式”让课堂翩翩起舞——以“向量的数量积”为例

引言：“五步问题”就是问题预设、问题检测、问题生成与探究、问题巩固、问题预留；预设就是让学生会用数学眼光去观察世界，感悟知识的来源；检测、生成、探究就是让学生会用数学思维思考世界，领会知识的思维；巩固、预留就是让学生会用数学语言表达世界，真正做到知识“学进去”，“讲出来”。笔者以执教苏教版数学必修四“向量数量积”第一课时教学实录为例，谈谈自己的做法与思考。

一、课堂实录

1.问题预设

问题1 向量的加法、减法、数乘如何定义? 加法、减法满足什么法则? 它们的运算结果是什么?

生(齐声回答)：向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则；减法满足三角形法则；它们的运算结果是一个向量。

师：很好! 下面我们来看一张图片。

生：好漂亮!

学生的兴趣上来了，眉飞色舞和同学交流。

师：这是哪个学院的建筑?

生：摇头。

师：英国剑桥大学——国王学院。

生1：(声音洪亮)苹果树! 牛顿定律!

师：对! 这位同学很聪明! 我们可不可以向伟大科学家牛顿一样他坐在苹果树下思考出牛顿定律；向量可不以可以像实数一样进行“相乘”? 来看下问题2。

意图 通过类比实数运算让学生知道向量可以进行“相乘”，这就是用数学的眼光观察世界。另一方面用名人故事的引入，激发学生的好奇心，增强课堂活跃气氛，促进学好的数学动力和信心。

问题2 向量加法以物理中的“位移”为背景，对于向量相乘，可以用物理中的哪个作为背景模型?

生(有的小声)：功。

师：对，我们一起来研究。

问题2.1 一个物体A在水平力F的作用下运动了位移S，力F做的功为多少?

问题2.2 有一个竖直向上的力F1，但没有提起物体，那么力F1做的功为多少? 为什么?

生3：做功为0，因为力F1在竖直方向没有位移。

问题2.3 一个物体A在力F的作用下产生位移S，且F与S的夹角为θ，那么力F所做的功为多少?

师：分析到位，物理功底深厚。也就是说功与位移和位移方向上力的大小有关。

问题3 如何从向量的角度来理解功的运算?

师生合作：把力F和位移S看成两个向量，力与位移得到功就是两个向量的模与它们夹角的余弦值的乘积。不失一般性，用a→和b→表示两个平面向量，抽象出来的运算该如何表示呢?

意图 类比、建模、抽象是数学基本思想方法。在其指引下，类比力做功模型，抽象到向量的数量积，从而调动学生的已有知识向未知知识过度引领，体会到数量积的实际背景，经历概念形成的过程，领悟到数学概念的本质。

问题3.1 能否由数量积的定义求出?

生5：由于零向量的方向任意与a→的夹角无法确定不能用公式求解，可以考虑在“功”的实际意义中无论位移还是力有一个为零其结果都为零，所以定义零向量与任意向量的数量积为零。

问题3.2 如图两个向量，它们的夹角怎么作? 夹角范围为多少?

生：看课本，与同学交流总结如下。

(1)两个非零向量的夹角，应保证两个向量共起点，否则平移使之共起点。

意图 数学概念学习时必须把内容中的关键语句理解透，因此教学时要精心设计问题，加强概念的剖析，让学生在问题分析中学会发现、提问、解决能力，这就是“自学”。

2.问题检测

(1)判断下列说法是否正确。

师：掌声响起! 不错，对于向量的平行夹角应该为0°或180°。

意图 通过两道基础题查看学生在课堂上学习的成效。成果的交流就是思维展示的过程，通过生生互助解决学习中问题，获得成就感，这就是“互学”。

3.问题生成与探究

问题4 向量的数量积的结果与夹角之间的关系如何?

生10 和生11(合作完成)：从夹角的大小分析。

生12 和生13(合作完成)：从数量积的数值角度分析。

意图 通过对问题适当的生成，增强学生对数量积认知的深度和宽度；经过小组合作交流、探究，强化对向量数量积的理解和掌握，这就是“问学”。

问题5 数的运算离不开运算律，结合课本去理解和掌握向量的数量积的运算率。

生：(小组合作、探究、验证)得出如下结论：

意图 一方面类比实数运算律，猜想出数量积的运算律；另一方面结合已有的知识，通过合作交流证明猜想，培养学生逻辑推理能力。

4.问题巩固

意图 强化运算律的理解，培养解决问题的能力，深化和巩固学习成果；能够在课堂上正确表达解题思路，让大家都明白，这就是“教学”。

5.问题预留

在边长为2 的正六边形ABCDEF中，

意图 通过第一问的解题，加强学生对向量夹角的理解，进一步掌握数量积的定义；对第二问的探究在数量积定义下对数量积几何意义的引入埋下伏笔，这就是“悟学”。

二、教学反思

课堂应该是以“真学习”为目的。首先，教师在课堂中不应该去追求“教学多样技术”，而是保障每个学生的“学习权”，实现每个学生真正的学习与成长。其次在课堂教学活动中要积极引导学生以“问题”进行的“五学”行为，让学生在问题引领下学会类比、归纳、数学建模、逻辑推理。最后应关注核心素养与知识的内在联系，以一定的数学文化和知识为依托，遵循数学知识的发展规律和学生认知规律，把知识来龙去脉充分展现在学生面前，激发学生想学习、学好习的动力，从而提高学习数学的能力，进一步提升学生的核心素养能力。