点击高考热点 再议弹簧模型

河北 康利军 李会彦

轻弹簧是一个理想化模型，也是高考物理命题中的经典模型。综合分析近5年的高考物理试题，可见含弹簧模型的试题所占的比重偏高。(如下表)

真题示例题型及分值考点分析考查情境2015年全国卷Ⅰ第24题计算(12分)胡克定律(Ⅰ级),匀强磁场中的安培力(Ⅱ级),共点力的平衡(Ⅱ级) 2016年全国卷Ⅰ第25题计算(18分)动能定理(Ⅱ级),功能关系(Ⅱ级)2016年全国卷Ⅱ第22题实验(6分)实验六:验证机械能守恒定律2016年全国卷Ⅱ第25题计算(20分)机械能守恒定律及其应用(Ⅱ级),抛体运动(Ⅱ级)2017年全国卷Ⅲ第17题选择(6分)胡克定律(Ⅰ级),力的合成与分解(Ⅱ级),共点力的平衡(Ⅱ级)将轻质弹性绳两端分别固定在水平天花板的两点,绳中间悬挂钩码,以此情境考查受力分析和平衡问题2018年全国卷Ⅰ第15题选择(6分)胡克定律(Ⅰ级),牛顿运动定律及其应用(Ⅱ级)

续表

由上可以看出，命题者常以弹簧作为载体，通过弹簧连接滑块等组成物体系统，对系统或约束或释放或突变，创设出多样化的物理情境。

从考点分析上看，弹簧模型可以贯穿到整个高中物理力学知识的体系中。从受力角度看，弹簧的弹力是变力，在空间上，弹簧形变与所接触物体的位移相关联，在时间上，弹簧经历形变需要时间，故弹簧弹力具有与其他力不同的特性；从能量角度看，弹簧是储存弹性势能的元件，弹性势能的表达式在高考《考试大纲》中不做要求，但要灵活应用机械能守恒定律或功能关系来解决弹性势能的相关问题。所以含弹簧模型的问题多为综合性问题，涉及的知识面广，不仅能加深对弹力、加速度、能量等基本概念的理解，促使学生形成物理观念，同时也可综合多个规律进行考查，使学生的模型建构、分析综合、推理论证等科学思维内化为能力。本文通过典型例题，引导同学们分类突破弹簧模型。

一、弹簧模型中的静力学问题

【例1】如图1所示，两个质量均为m的小球通过两根轻弹簧A、B连接，在水平外力F作用下，系统处于静止状态，此时弹簧实际长度相等。弹簧A、B的劲度系数分别为kA、kB，且原长相等。弹簧A、B与竖直方向的夹角分别为θ与45°。设A、B中的拉力分别为FA、FB。小球直径相比弹簧长度可以忽略。则

图1

( )

图2

图3

【归类总结】弹簧模型中的静力学问题以考查受力分析为主，主要是结合胡克定律考查共点力的平衡问题，可以采用正交分解法、矢量三角形法、图解法、整体法和隔离法等方法求解。但是对弹簧的基本力学特征要明确，轻弹簧是一种理想化的物理元件，分析问题时不需要考虑轻弹簧本身的质量和重力。对于弹簧产生的弹力，需要注意以下几点：

1.弹簧弹力的计算

弹簧弹力的大小可以由胡克定律来计算，即弹簧发生形变时，在弹性限度内，弹力的大小F与弹簧伸长(或缩短)的长度x成正比，数学表达式为F=kx，其中k是一个比例系数，叫弹簧的劲度系数。弹簧的弹力不是一个恒定的力，而是一个变力，其大小随着弹簧形变量的变化而变化，同时还与弹簧的劲度系数有关。

2.弹簧弹力的特点

(1)弹簧弹力的大小与弹簧的形变量有关，当弹簧的劲度系数保持不变时，弹簧的形变量发生变化，弹簧的弹力相应地发生变化；形变量不变，弹力也就保持不变；

(2)当轻弹簧受到外力的作用时，无论弹簧是处于平衡状态还是处于变速运动状态，弹簧各个部分所受的力的大小是相同的；

(3)弹簧弹力的方向与弹簧的形变有关，在拉伸和压缩两种情况下，弹力的方向相反。在分析弹簧弹力的方向时，一定要全面考虑，如果题目没有说明是哪种形变，那么就需要考虑两种情况。

另外，对胡克定律的考查还可以实验形式考查，在动力学问题中也会涉及。

二、弹簧模型中的动力学问题

【例2】如图4所示，带有竖直支柱的斜面体静止在水平地面上，光滑的小球被轻质细线和轻弹簧系住静止于斜面体上，细线与斜面平行，弹簧处于拉伸状态，小球对斜面没有压力。现烧断细线，则细线烧断瞬时，下列说法正确的是

图4

( )

A.小球的加速度为零

B.小球对斜面的压力为零

C.小球的加速度方向沿弹簧轴线

D.地面对斜面体的支持力会瞬间增大

【解析】细线烧断前，在沿斜面方向，弹簧弹力的分量等于重力沿斜面方向分量和细线拉力之和；在垂直斜面方向，重力分量和弹簧弹力分量平衡。烧断细线瞬间，细线拉力消失，弹簧的弹力和重力均不变，故在垂直于斜面方向受力不变，小球对斜面的压力依然为零；沿斜面方向，小球受到的合力沿斜面向上，加速度沿斜面向上，故AC错误，B正确。由于小球有竖直向上的加速度分量，故整体存在超重现象，则地面对斜面体的支持力会瞬间增大，故D正确。

【归类总结】弹簧模型中的瞬时加速度问题考查学生对牛顿第二定律瞬时性的理解。物体的加速度a与合力F对应同一时刻，即a为某时刻的加速度时，F为该时刻物体所受合力。此类问题以静力学平衡问题开场，以其中某力突变设问，关键点是明确轻弹簧和轻绳、轻杆或接触面产生的弹力的区别，即两端同时连接(或附着)有物体的弹簧或橡皮绳，其特点是形变量大，形变恢复需要较长时间，在瞬时性问题中，其弹力的大小往往可以看成保持不变。而轻杆是不发生明显形变就能产生弹力的物体，剪断(或脱离)后，其弹力立即消失，形变恢复不需要时间。

【例3】如图5所示，一轻质弹簧的下端，固定在水平面上，上端叠放着两个质量均为m的物体A、B(物体B与弹簧拴接)，弹簧的劲度系数为k，初始时物体处于静止状态。现用竖直向上的拉力F作用在物体A上，使物体A开始向上做加速度为a的匀加速运动，测得两个物体的v-t图象如图6所示(重力加速度为g)，则

图5

图6

( )

A.A、B在t1时刻分离，此时弹簧弹力大小为m(g+a)

B.施加外力的瞬间，F的大小为2m(g-a)

D.弹簧弹力等于零时，物体B的速度达到最大值

【归类总结】弹簧模型中动力学问题的情境往往是在弹簧一端或弹簧两端推动物块运动，运动过程中弹簧弹力随形变而变化，从而使得合外力变化，进而导致运动物体的加速度、速度发生变化。

(1)比较典型的分离临界问题是考查学生对弹簧形变的特殊位置弹力特征的理解。这类问题关键点是明确分离的时刻，即接触面间的弹力为零这一临界条件；然后采用整体法和隔离法受力分析，根据牛顿第二定律列方程求解。由于弹簧弹力与形变量相对应，形变量(尤其是特殊位置的形变量)是分析弹簧弹力及变化问题的突破口，确定弹簧原长位置、现长位置及临界位置，找出弹簧形变量x与连接物体空间位置变化的关系(这个关系是求解物体位移的关键点如C选项)，确定弹力的大小及方向，根据物体运动状态结合动力学规律求解。(2)另外一类以竖直弹簧连接小球(在选修3-4中属于弹簧振子模型，为弹簧模型中的简谐运动问题)为基础模型的问题，小球保持和弹簧接触的运动过程中，小球受到的合力F、加速度a、速度v以及相对于平衡位置的位移x都具有对称性。对应弹簧特殊位置，小球具有特殊状态，如平衡位置时，加速度为零，速度最大；在相对于平衡位置最大位移处，速度为零，加速度最大。这也是进一步分析弹簧小球系统中能量关系的动力学基础。

三、弹簧模型中的能量问题

【例4】如图7所示，竖直光滑杆固定不动，套在杆上的弹簧下端固定，将套在杆上的滑块向下压缩弹簧至离地高度h=0.1 m处，滑块与弹簧不拴接。现由静止释放滑块，通过传感器测量滑块的速度和离地高度h并作出如图8所示滑块的Ek-h图象，其中高度从0.2 m上升到0.35 m范围内图象为直线，其余部分为曲线，以地面为零势能面，取g=10 m/s2，由图象可知

图7

图8

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A.滑块的质量为0.15 kg

B.轻弹簧原长为0.2 m

C.弹簧最大弹性势能为0.32 J

D.滑块的重力势能与弹簧的弹性势能总和最小为0.38 J

【归纳总结】小球与弹簧模型是机械能守恒问题中的经典情境，以小球、弹簧和地球组成的系统，只有重力、弹簧弹力做功时系统的机械能守恒。弹簧弹力做功与路径无关，只与初末位置有关，弹簧弹力做功对应弹簧弹性势能的变化。该模型系统中的弹性势能、小球动能和重力势能相互转化且总量不变。事实上，无论弹簧沿哪个方向，沿着弹簧轴线上施加一个恒力，那么弹簧和小球组成的系统都可以看作等效弹簧与小球模型，只是能量转化要根据实际情况判定。常见的蹦极问题也属于小球弹簧模型，该模型结合其他情境的创新试题非常多，如2019年全国卷Ⅰ第21题既与a-x创新图象综合，又与万有引力与航天综合，同时考查能量问题。

【例5】如图9所示，一光滑细杆固定在水平面上的C点，细杆与水平面的夹角为30°，一原长为L的轻质弹性绳，下端固定在水平面上的B点，上端与质量为m的小环相连，当把小环拉到A点时，AB与地面垂直，弹性绳长为2L，将小环从A点由静止释放，当小环运动到AC的中点D时，速度达到最大。重力加速度为g，下列说法正确的是

图9

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A.在下滑过程中小环的机械能先减小后增大

B.小环刚释放时的加速度大小为g

C.小环到达AD的中点时，弹性绳的弹性势能为零

【归纳总结】对于不沿弹簧轴线方向运动的弹簧与小球系统，其受力分析比二者共线时复杂，需要将弹簧弹力沿运动方向分解，根据牛顿第二定律分析小球的运动特征。在动力分析的基础上进一步研究系统中的能量问题，若系统中只有重力、弹簧弹力做功，系统满足机械能守恒定律。若系统中有其他力做功，且代数和不为零，如滑动摩擦力做功，则要应用功能关系求解。

四、弹簧模型中的动量问题

【例6】如图10所示，光滑水平面上，质量为m1=2 kg和m2=1 kg的两个小球，用一条轻质细线连接，中间有一被压缩且和m2连接的轻弹簧，正以8 m/s的共同速度向右匀速运动，弹簧的弹性势能为48 J，求：

图10

(1)烧断细线后最终m1与m2的速度；

(2)如图11所示，若质量为m1的小球开始以某一速度向右运动去碰静止的质量为m2的小球，轻弹簧与质量为m2的小球连接且处于原长，在接下来的运动中，弹簧被压到最短时弹性势能为48 J，问质量为m1的小球开始的速度。

图11

【归纳总结】弹簧模型在动量问题中的应用主要是作为一种储能元件使用。动量问题中的弹簧与小球模型有两类：一类是反冲类情境(例6第1问)，系统满足动量守恒定律，也满足机械能守恒定律，烧断细线，弹簧储存的弹性势能转化为小球动能；另一类是碰撞类情境(例6第2问)，系统满足动量守恒定律，也满足机械能守恒定律，在运动过程中，当弹簧压缩至最短(还有一种情形，如小球和弹簧拴接，弹簧拉伸最长)时，两球共速，弹簧弹性势能最大，当弹簧再次恢复原长瞬间，此时弹性势能为零，那么系统从初态到此时的过程符合动量守恒弹性碰撞模型。弹簧模型也可以与板块模型相综合，考查更复杂的情境，在判断运动过程中的功能关系时，对于弹簧压缩最短或恢复原长两个特殊状态的处理方法，与弹簧小球模型是一致的。