机械波多解性问题的一般解法

安徽 王 云 宋万松

机械波多解性问题是近几年高考的一个高频考点，引起机械波多解性的主要因素有时间周期性、空间周期性；传播方向双向性、振动方向双向性及波形的隐含性。对于引起机械波多解性的不同因素需要采用不同的思想、方法进行处理，机械波多解性能很好地考查逻辑思维的严谨性。本文结合实例总结此类问题的一般思维方法。

一、“去整留零”研究周期性

机械波与生俱来的特点是具有周期性，空间周期性用波长λ来表达，时间周期性用周期T来体现，空间周期性与时间周期性具有对应关系，经过半个周期，波传播半个波长；波传播四分之三个波长，需要四分之三个周期，这种时空对应正是物理的精髓思想之一。由于时间周期性、空间周期性引起机械波的多解，可以采用“去整留零”的思想进行处理，先考虑一个周期T内的Δt、一个波长λ内的Δx情况，然后再考虑周期性构建时间的关系t=nT+Δt，空间的关系x=nλ+Δx。

【例1】一列简谐横波沿x轴正方向传播，在t1=0和t2=0.20 s时的波形分别如图1中实线和虚线所示。求这列波的周期和波速。

图1

二、“分类讨论”考虑双向性

如果没有告知波源的位置等相关信息，将无法确定机械波的传播方向以及介质中质点的振动方向，这样会导致分析过程存在不确定因素，故此类问题通常采用假设、分类、讨论的思维流程。

【例2】如图2所示是一列沿x轴传播的机械波图象，实线是t1=0时刻的波形，虚线是t2=1 s时刻的波形。求这列波的周期和波速。

图2

【分析与解】虽然题干明确机械波沿x轴传播，但没有告知向左还是向右传播，情况不确定需采用假设、分类、讨论方法进行剖析。

【例3】如图3所示是一列简谐横波在某时刻的波形图，波沿x轴传播，质点P的横坐标xP=0.32 m，从此刻开始计时，若P点经0.4 s到达最大位移处，求波速大小。

图3

【分析与解】根据题意没有明确此刻P点的振动方向，从而无法确定机械波的传播方向，情况不确定需采用假设、分类、讨论等方法进行剖析。

三、“画图找点”突破隐含性

题干仅提供几个特殊点的相关信息，对于波形图其他相关信息均处于隐含状态，引起波形图有多种可能。解题过程需要把隐含的条件利用“画图找点”的思想得以显性的呈现。

【例4】如图4所示，一列简谐横波向右传播，P、Q两质点平衡位置相距0.15 m。当P运动到上方最大位移处时，Q刚好运动到平衡位置且向下运动，则这列波的波长可能是多大。

图4

【分析与解】题干虽然提供了P、Q两质点的相关信息，但未告知P、Q两质点间的具体波形图，给解题带来不确定性。利用“画图找点”进行抽丝剥茧，层层推进，寻找问题的突破口。

图5

第一步：如图5画一条正弦曲线，虚线代表介质中各质点的平衡位置。

第二步：根据题干要求在一个波长内寻找符合要求的P、Q两质点，发现P、Q两质点间的距离最起码为四分之三波长。

机械波多解的原因通常不是单一因素引起，往往是三方面因素共同造成的。所以解题过程应明确引起多解性的原因，选择合适的思想、方法逐一突破。

【例5】在一列简谐横波传播的路径上有A、B两质点，两质点的振动图象如图6中(甲)(乙)所示，A、B两质点间的距离为2 m，求波传播的速度。

甲

乙

【分析与解】题干仅仅告知A、B两质点的振动图象，波的传播方向不确定，A、B两质点间的波形图不确定，同时还需要考虑波形图的空间周期性。这些共同的不确定性造成波的传播速度具有多解性。利用以上分析的思维方法进行逐一突破。

第一步：设简谐横波从A向B传播，t=0时刻质点A在平衡位置且向下运动，质点B在正向最大位移处，采用“画图找点”确定两点间的最简单波形图，如图7发现A、B两质点间的最简单波形是四分之一波长。

图7

第四步：设简谐横波从B向A传播，t=0时刻质点A在平衡位置且向下运动，质点B在正向最大位移处，采用“画图找点”确定两点间的最简单波形图，如图8发现A、B两质点间的最简单波形是四分之三波长。

图8

【总结】机械波的多解性问题是机械波的核心考点之一，具有一定的综合性和区分度。解决多解性问题的关键在于分析引起多解性的原因，然后分别利用“去整留零”“分类讨论”“画图找点”各个突破。