让“数学理解”更深刻

吴存明

南京大学哲学系郑毓信教授倡导“应当通过数学教学帮助学生学会思维，能够逐步学会想得更清晰、更全面、更深刻、更合理”。这里的四个“更”，直指“数学理解”。在倡导深度学习的当下，“更深刻”应成为“数学理解”的核心。基于这样的思考，笔者设计的“用字母表示数”一课在江苏省“百师万课”教学展评活动中获得好评，现整理如下，供教育同仁指正。

【教学内容】

苏教版小学数学五年级上册第八单元“用字母表示数”第1课时第99～100页。

【教学目标】

1.在具体情境中理解字母表示数的意义，能够根据具体的情境用含字母的式子表示数和数量关系。

2.经历把实际问题用含有字母的式子进行表达的抽象过程，培养学生数学抽象概括能力。

3.体会用字母表示数的简洁性与一般性，发展学生符号意识，增强学好数学的信心。

【教学重、难点】

重点：在具体情境中理解字母表示数的意义。

难点：经历用字母表示数的抽象过程，发展符号意识。

【教学过程】

一、引入：用字母表示未知数

师：（屏幕出示上图）前不久，老师的微信收到一个红包。猜猜多少钱？

生：10元、66元、888元、1分钱、200元……

师（不断摇头）：除了猜，有更好的方法吗？

（教师出示任务一：谁能想一个办法，把所有可能的数都包括进来。学生写数字，教师巡视后选择典型作品展示）

生1：52元，因为我们班是五（2）班。

生2：……元，省略号可以代替所有的数。

生3：0.01～200元，我经常抢红包和发红包，红包最少是1分钱，最多是200元。

生4：我就用一个英语字母表示，是x元。

师：大家的思考很有创意。在数学上，人们通常用字母来表示未知数。

（教师板书：用字母表示数）

师：为什么要用字母来表示数？

生：因为有很多可能性。

师：是啊，这里的字母有魔力，它背后概括了很多数。那么，x可以表示哪些数？

（教师板书：概括）

师：对方可领取的红包金额为0.01～200元。

（教师板书：0.01～200元）

【反思】对于一个未知的红包金额，在不断地猜想失败之后，教师布置任务：“想一个办法，把所有可能的数都包括进来。”这个貌似简单实则有挑战性的任务“逼迫”学生经历数学的再创造过程，展现了学生富有个性的原创思维。学生的思维从“猜”转向“写”，开启了数学理解的第一步。

二、发展：用含有字母的式子表示数量关系

师：我又收到一个红包。这次还猜吗？（生摇头）那你们打算怎么表示？

（教师出示任务二：想一个办法表示，把第二个红包可能的数都包括进来。学生写数字，教师巡视后选择典型作品展示）

生1：用字母x来表示。

师：一学就会，还有吗？

生2：一开始写的是x，后来换成y了。

师：为啥换个字母？

生（齐）：第二个红包不一定和第一个红包一样大，不能用同一个字母。

师：在同一个问题里，不同的数要用不同的字母来表示。收到第二个红包时，老师还收到一条短信：“比第一个红包多5元”。你又想到了什么？

生3：x+5元。

师：y与x+5哪个更好？为什么？

生4：我觉得y更好，更加简洁。

生5：x+5更好，可以看出两个红包相差多少，写y就不知道到底是多少了。

师：x+5虽然长一些，但是它会“说话”——“我比前一个红包多5元”。也就是它不但能表示第二个红包的钱数，而且能表示出两个红包之间的关系。

（教师相机板书：关系）

师：我们对对口令，当x=1元，x+5=？……当x=200元呢？

生6：x不可能为200。

师：此时，x表示哪些数？你是怎样想的？

生7：因为第二个红包比第一个红包多5元，x的范围变成了0.01～195元。

（教师调整之前x的范围板书：0.01～195元）

【反思】有了第一个红包金额的表示经验，对于第二个红包的金额，学生自觉地用字母表示，揭示出“同一个问题中不同的数用不同的字母来表示”的一般做法。而随后教师收到的短信“比第一个红包多5元”，引发了“y与x+5哪个更好”的讨论。

三、探索：字母式的简写

师：第三个红包来了。

（课件出示：第三个红包是第一个红包的2倍）

（教师出示任務三：想一个办法表示，把第三个红包可能的数都包括进来。学生写数字，教师巡视后选择典型作品展示）

生1：x×2元。

生2：可以简写成x2元。

生3：不对，应该简写成2x元。

师：到底该怎么简写呢？看一个视频。

……

师：看懂了吗？接下来我们来做一组判断对错练习。

（1）x×3 可以简写成 3x。（）

（2）x+3 可以简写成 3x。（）

（3）c×c 可以简写成 2c。（）

（4）c+c 可以简写成 2c。（）

教师针对（3）（4）题，课件出示下图。

师：你们觉得是2c大，还是c2大？

……

【反思】对于第三个红包的金额，在学生的各种作品展现后，教师聚焦“简写”这个话题，引发学生讨论，观看微视频，学生进行了“有意义的接受式学习”。值得指出的是，教师围绕一些简写的难点深入讨论，比如“是2c大，还是c2大”，揭示它们的区别与联系，这尤为重要。

四、感受：字母式的变化

（教师出示任务四：根据这3个红包的信息，你能提出什么数学问题？）

生1：此时，x表示哪些数？

生2：现在x最少是0.01元，最多是100元。

师：你是怎样想的？

生2：因为第三个红包最多是200元，而第三个红包是第一个红包的2倍。

生3：我想问，哪个红包最小？哪个红包最大？

师：好问题！在3个红包中哪个最小？

生（齐）：第一个。

师：哪个红包最大？

生4：我觉得是第三个红包，“2x”要比“x+5”多，比如x=10，x+5=15，2x=20。

生5：我觉得不一定，如果x=1，x+5=6，2x=2，第二个红包最大。

师：看样子，要么是第二个红包最大，要么是第三個红包最大。

生6（急切地举手）：老师，还有第三种可能，当x=5，x+5=10，2x=10。

师：好像发现这3种情况都有可能，为你们的思考点赞！学到现在，你感觉今天的数学与之前的数学有什么不同？

生7：有变化了，答案不唯一了。

生8：以前的数学是“死”的，现在变活了。

师：用字母表示数在数学史上是一次飞跃。有了它，数学就活了，数学从此就更有变化了，变得更有意思了。你们还有什么问题吗？

生9：我想知道每个红包到底是多少钱？

（教师揭晓3个红包金额）

【反思】教师通过创设3个红包的教学情境，让学生学习“用字母表示未知数”“用含有字母的式子表示数量关系”“字母式的简写”等知识点。至此，学生对于“用字母表示数”的理解有了进一步提升， “此时，x表示哪些数？”“哪个红包最小？哪个红包最大？”“每个红包到底是多少钱？”都是好问题，值得学生去思考甚至辩论。

五、延展：从特殊到一般，理解用字母表示数的符号化思想

师：2x除了表示红包钱数之间的关系，还能表示什么？

（教师出示任务五：说一说，还能用2x表示什么）

……

师：能说完吗？对！只要两个量有2倍关系的，都可以用2x概括，老师也讲个故事（如下图）。

师：大家为数学家们点赞的同时，不要忘记夸奖一下自己。短短一堂课，我们就学会了用字母表示数。同样都是用字母表示数，我发现丢番图还早了1000多年，为什么偏说韦达是“代数学之父”呢？

（师生讨论，明确：丢番图用字母表示“事物的缩写”，而韦达用字母表示“概括的符号”）

师：最后奖励大家一首儿歌，数青蛙。

（  ）只青蛙（  ）张嘴，（  ）只眼睛（  ）条腿。

用一句话唱完，按照以前的数学是不行的，今天呢？同学们写下来。

……

【反思】围绕“2x”编故事绝不是可有可无的教学环节，它把整节课从红包素材中剥离出来，从“基于情境”到“去情境化”，学生认识到“只要两个量有2倍关系的，都可以用‘2x概括”。随后教师补充的史料和随后的发问“为什么韦达被称为‘代数学之父”，让学生深刻理解用字母表示数的千年跨越到底在哪里，一言以蔽之——“抽象概括的符号”。

反思上述课例之所以取得比较好的教学效果，有以下四点值得总结：

1.有意思的情境让数学理解更深刻

“用字母表示数”的学习到底该选用怎样的素材？笔者以为，红包情境适合学生，无论城市，还是农村，学生都见过或者收到过红包，有切身的体验，喜闻乐见，学生喜欢。这样有意思且有意义的情境让数学理解有更肥沃的土壤。

2.挑战性的任务让数学理解更深刻

笔者以为，好的学习任务要聚焦矛盾冲突，在关键处“推学生一把”，让学生卷入。日本著名学者佐藤学就曾明确提出：“学校和教师的责任并不在于上好课，而在于保障每一个学生的学习权，给学生挑战高水准学习的机会。”因此，把教学内容巧妙地隐含到一个个富有挑战性的学习任务中，通过“让学生想一个办法，把所有可能的数都包括进来”的任务驱动，连续激发了学生的探究需求，促进学生主动地学习。

3.层次化的过程让数学理解更深刻

本节课的学习，教师让学生经历经验理解（从猜到写）—形式理解（凸显关系，学会简写）—关系理解（从特殊到一般，去情境化）—观念理解（史料拓展，符号化思想）等四个阶段。从课堂反馈看，学生经历了过程，产生了体验，不仅深入地理解了字母的产生与优点，还对字母的发展有了较为深刻的体验。

4.高质量的问题让数学理解更深刻

数学家哈尔莫斯说过：“问题是数学的心脏。”笔者以为，教师应该在“学生现在在哪里”和“学生能够到哪里”的区间里，引导学生自己提出高质量的问题。在上述课例里，像“x表示哪些数？”“哪个红包最少？哪个红包最大？”这样高质量的问题就来源于学生;像“同样都是用字母表示数，我发现丢番图还早了1000多年，为什么偏说韦达是‘代数学之父 呢？”这样高质量的问题就来源于教师。没有这一系列恰到好处、层层递进的问题引领，学生的深刻理解就难以保障。

总之，本节课教师创设了贴近儿童的情境，以挑战性的任务驱动，以高质量的问题引领，让不同层次的学生都有思考与创造的时间和空间，让学习看得见，让数学理解更深刻。

（作者单位：江苏省南京市溧水区东庐小学）