用函数描述变化规律

田载今

人教版初中数学教科书在“一次函数”一章中，引入了函数的初级概念.本文在此基础上，再扩充一些函数的知识，希望能帮助同学们进一步认识函数.

一、函数反映变量之间的单值对应关系

函數是描述变量之间单值对应的数学模型.在初中数学教科书中，函数被定义为：在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么x叫作自变量，y叫作x的函数.

上述定义中只涉及两个变量，一个是自变量，另一个是函数，它们之间单值对应.这样的函数叫作一元函数，即只有一个自变量的函数.

初中数学中只讨论一元函数，但是广义的函数不是只有一元函数，如果在一个变化过程中，一个变量对于其他两个或更多的变量所组成的变量组的每一组确定值，都有唯一确定的对应值，那么这个变量叫作这组变量的函数，自变量是组成这组变量的各个变量.例如，长方形的面积S=ab.这里，长a和宽b组成一组自变量.对于它们的每一对取值（如a=2，b=1;a=3，b=2;a=3.5，b=2.4;…），面积S都有唯一确定的对应值（如2，6，8.4，…）.S=ab描述了S对a和b这一组变量的单值对应，它是一个二元函数，与此类似，长方体的体积V=abc是三元函数，其中长方体的长a、宽b、高c组成一组自变量。

一般地，如果一个变量对于n个变量所组成的变量组的每一组确定值，都有唯一确定的对应值，那么这个变量就是一个n元函数.二元以上的函数统称为多元函数.

二、函数的表达形式

函数的本质是变量之问的单值对应.不论什么形式，只要能表示这样的对应关系，就可以用来表示函数，表示函数多用解析式、图象、表格等，其中以解析式最为常用.例如，圆的面积S=Πr2是一元函数解析式（自变量为r），长方形的面积S=ab是二元函数解析式（自变量为a，6）.函数解析式中等号的左边表示函数，右边是关于自变量的运算式，它不仅明确地表示出哪个是函数哪些是自变量.而且清晰地反映了函数与自变量之间的运算关系，即如何由自变量的值得到相应的函数值.因此，这种解析式叫作显函数表达式.一元显函数的解析式可以概括为y=f（x）的形式.n元显函数的解析式则可以概括为y=f（x1，x2，…，xn）的形式.

大家知道，含有未知数的等式叫作方程，如二元方程5x+y=1，3x²+2x-0.5y=6.虽然这两个方程不是y=f（x）的形式，但是从它们可以分别推出y=-5x+1，y=6x²+4x-12.显然，所得两式都是一元函数的显函数y=f（x）的形式，这就是说，这两个方程各自隐含了一个函数.一般地，像5x+y=1，3x²+2x-0.5y=6这种隐含了某种函数关系的方程，叫作隐函数表达式，由此可知，函数与方程有着密切的联系，

请注意，任一方程不一定都隐含了唯一确定的函数.例如，方程X²+y²=1中，x的取值范围是-1≤x≤1.对于x的每一确定的值，y的对应值不都是唯一确定的.如x=0时，y的对应值为±1（不唯一）;x=√2/2时，y的对应值为±√2/2（不唯一）.因此，不能说这个方程反映了y与x的单值对应关系.这个方程不，是一个隐函数表达式.但是，如果事先规定y≥0（或y≤0），则由该方程可以推出函数y=√（1-x2）（或y=-√（1-x2））.

利用方程和函数之间的联系，可使它们互相转化，为解决问题另辟蹊径.例如，图象法解二元一次方程组就是把二元一次方程转化为一次函数.方程组4x-3y=6;2x+y=3中的两个方程都是隐函数表达式，它们分别对应一次函数y=（4/3）x-2与y=-2x+3.画出这两个函数的图象，它们交点的坐标（1.5，0）同时满足两个函数，也就是说x=1.5，y=0是这两个方程的公共解.这样，就用画函数图象替代消元法的计算而得到了方程组的解.

三、函数图象直观表现了变量的单值对应

解析式是多项式形式的函数，叫作多项式函数x的一次多项式的一般形式为kx+b（k，b是常数，k≠0），所以形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，是x的一次函数.特别地，当y=kx+b中的常数项b=0时，一次函数y=kx（k≠0）又叫作正比例函数.一次函数是最简单的多项式函数.一般地，函数y=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an（常数a0≠0）叫作n次函数.如二次函数y=x²+3x+5，三次函数y=2x³+3x²+4x+5.

函数y=kx+b的图象是直线，因此函数y=kx+b也叫作（直）线性函数.函数y=kx+b的图象也叫作直线y=kx+b.当x=0时，y=b，即直线y=kx+b与y轴交于点（0，b）.常数b叫作直线y=kx+b在y轴上的截距.通过描点法画图象可以发现：当k>0时，直线y=kx+b从左向右上升;当k<0时，直线y=kx+b从左向右下降|k|越大，直线越陡，因为k的值决定直线y=kx+b的倾斜情况（包括倾斜方向和倾斜程度），所以k叫作直线y=kx+b的斜率，斜率和截距这两个常数确定后，直线y=kx+b在平面直角坐标系中的位置就确定了.y=kx+b叫作这条直线的斜截式，它是解析几何中常用的直线方程形式之一.

二元函数的图象不是平面曲线，而是三维空间坐标系中的立体图形，例如，函数z=x+y（z是x，y的函数）的图象是一个无边无际的平面，原点（0，0，0）和点（1，0，1），（0，1，1），（1，2，3），（-1，4，3）等都在这个平面上，因为这些点的坐标（x，y，z）满足z=x+y.