经历探究过程，发现数学定理

毛凯捷

摘  要：在小学数学教学中，促进学生“理解规则概念，获得方法策略，体验思考价值，感受学习愉悦”是根本。小学生对于数学定理的学习是存在一定困难的，教师不能给学生“抛定理”，而应该通过引发数学猜想、聚焦数学思考、开展分层教学的策略引导他们经历数学探究的全过程，从而在这个过程中自主发现数学定理。基于此背景，对《三角形的三边关系》一课的教学进行了探究，希望能够为广大小学数学教师的教学提供借鉴。

关键词：小学数学;定理;探究;三角形的三边关系

《数学课程标准》强调，在数学教学活动中要“淡化形式，注重实质”。在数学知识体系中涵盖了诸多数学符号、数学概念、数学定理，在引导学生学习数学的过程中，教师应该让学生对数学本质进行深刻理解。数学定理在小学数学知识体系中，是非常关键的内容，教师不能给学生“抛定理”，而应该引导他们经历数学定理的探究过程，这样，才能有效地促进他们数学核心素养的提升。以下，我结合《三角形的三边关系》一课的教学来谈一谈如何引导学生经历数学定理的探究过程。

一、引发数学猜想，驱动数学探究

数学猜想是数学探究的基础，同时是数学探究的“动力”。小学生在数学学习的过程中，经常会根据自己原有的数学经验对数学新知进行猜想，但这一种数学猜想是“零星化”的，因此，教师需要根据教学内容及学生的原有经验，为他们提供能够引发更多数学猜想的学习素材，这样，他们就能够在数学猜想的过程中自主提出研究问题，从而产生数学探究的“冲动”。

在《三角形的三边关系》一课的教学中，我首先给学生呈现这样的问题情境：将一根长度为18厘米的细铁丝折成一个三角形，这个三角形的三条边的长度可能是多少厘米？（每条边长必须取整厘米數。）

生1：这个三角形三条边长可能都是6厘米。

生2：三条边长的长度也可能是5厘米、6厘米、7厘米。

生3：我觉得可能性很多很多。

生4：我觉得不可能是2厘米、4厘米、12厘米。

生5：3厘米、6厘米、9厘米也不可能。

这样，让学生基于18厘米长的铁丝折成的三角形的三边长度关系展开猜想，他们便能直观地感知三角形的三边关系：三角形三条边的长度有很多种可能，但存在一定的规律。由此驱动他们的数学探究。

二、聚焦数学思考，推进探究过程

数学教育的本真在于“思考”，在这一堂课的教学中，应该如何将数学思考的价值体现出来呢？教师为学生设计具有冲突性的操作活动十分重要，要引导他们围绕原先的数学猜想展开自主探究与反思，从中挖掘数学的本质。

1. 借助“问题”导学，推进操作探究

在小学数学课堂教学中，教师要善于为学生设计“大问题”，把数学探究的任务融合于“大问题”之中。在这一堂课的教学中，引导学生进行动手操作是最有效的方式，因此，要通过“大问题”导学推进他们操作探究的进程。

师：老师刚才把你们说的三角形三条边长度的可能性填到了表格中。（呈现表格。）

师：现在请你们利用学具袋中的细铁丝来折一折，并在学习单中记录你的发现。然后思考：为什么同样是一根铁丝折成三段，有的三条边可以围成三角形？有的三条边不可以组成三角形？（学生完成以后，组织反馈。）

生1：通过操作验证，前面两组可以围成三角形，后面两组不能围成三角形。

生2：在三条边中，如果两条边长度之和等于第三条边，就不能折成一个三角形。

生3：如果两条边之和小于第三条边，也不能够围成三角形。

（借助多媒体教学课件，展示不能围成三角形的情况，如2、4、6）

生4：5+6>7，因此这样的三条边可以围成一个三角形，只有当两边之和超过了第三边时，才符合三角形的构成条件。（根据学生回答板书：两边之和大于第三边。）

……

数学知识的学习过程需要理性思维的加入。在思考问题的过程中，学生的理性思维逐渐形成。借助这样的操作，能够让学生对三角形三条边之间的关系形成深刻认知，经一系列的思考与验证之后，学生才能够对数学本质的理解更深刻。

2. 创设认知冲突，形成正确结论

小学生在操作探究的过程中，形成的数学结论往往是片面化的，此时，教师就要善于为他们创设认知冲突，引发他们的高阶数学思维，以此在深入思考的过程中形成正确的数学结论。

师：在第四组折法中6+9>3，这也符合两边之和大于第三边的结论呀？为什么折不成三角形？

生1：看起来好像符合要求，但好像也不对。

生2：按照这种计算方法，我发现有好几组线段都满足这种要求。

生3：老师，我好像发现了一些不同，就是我们在判断三条线段能否构成一个三角形时，不能仅仅只关注到随意的两边之和是否大于第三边，而是应该任意两边之和都需要大于第三边。你看，当5+6>7，5+7>6，6+7>5时才可以折成一个三角形，否则就不行。

师：那我们是不是需要完善一下之前得出的结论？

生4：任意两边之和大于第三边，符合这一条件的三条边才能够构成一个三角形。

师（板书：任意）：你还可以借助其他理由，解释一下“三角形任意两边之和大于第三边”吗？

一些学生画图进行说明：

生5：在上面这个三角形中，可以将A和B之间的距离记为线段AB，点A过点C到点B之间的距离，等同于点A到点B之间的距离，如此我们可以了解一个道理，两点之间线段最短，因此，BC+AC>AB。

生6：这样下结论是比较片面的，我们还可以将AC看成是点A到点C之间的距离，点A过点B到点C之间的距离，等同于点A到点C之间的距离，如此我们也可以获得两点之间线段最短这个定理，因此AB+BC>AC;而AB+AC>BC。

生7：老师，两点之间的折线距离，明显长于线段距离，可见两点之间线段最短。

师：看来大家对于三条线段能否围成一个三角形这一知识点，已经了解得差不多了，但是每次都这样判断，是不是太麻烦了，能否简化该结论呢？

生8：较短的两条线段之和超过较长的第三边就符合三角形构成规律……

一根铁丝按照不同的方式折叠，能够得出不同的结果，能够围成三角形的三条边，与不能够围成三角形的三条边通过对比分析的方式产生冲突，以此得出结论：三角形的任意两边之和都大于第三边。但由于该条定理应用起来有点麻烦，因而通过进一步探讨，得出“三角形的最短两边之和必须超出较长的第三边”这一结论。虽然一路看似比较坎坷，但过程是美好的，过程体验也是最重要的。整个过程，从一般到特殊，在课堂上，学生历经的“磨难”越多，意味着他们的思维碰撞次数越多，如此对于加强他们的课堂体验非常有利，教学目标最终也能够顺利实现。

三、开展分层教学，激发探究潜能

學生是一个个鲜活的生命体，他们的思维处于不断变化中，不同学生的思维方式、思维特征不同，教师应该给予每一个生命体充分的尊重，让每一位学生能够积极参与到课堂教学活动中。教师应该结合学生的个体差异性，设计层次化的教学环节，让课堂上充满了多种声音，让课堂不再枯燥乏味。教师需要整合不同的要素，将每一位学生的探究潜能激发出来。

在这一堂课的教学中，我突破传统教学流程，关注学生之间的差异，进行分层教学，给学生提供两根小棒，其中一根长4厘米，另外一根长5厘米，引导学生在这2根小棒的基础上，找到能够搭建三角形的第三根小棒，第三条边最短为（  ）厘米，最长为（  ）厘米。（取整厘米数）。这样，学生在得出了“三角形的两条短边之和大于第三边”这个规律之后，学生的思维又被拉入了一个新的问题中……

生1：假设第三条边最长为5厘米，想4+（    ）>5，4+2>5，因此，第三条边最短为2厘米。

生2：假设第三条边最长为5厘米，那么5-4=1，这样，两条短边一样，如此无法拼成三角形，增加1厘米，便符合构成三角形的条件，于是5-4+1=2厘米。

生3：假设未知数是最长边，那么根据4+5>（    ），得知第三条边最长可以是8厘米。

生4：假设未知数是最长边，那么根据两条短边之和大于第三边的规律，得出4+5=9，减去1厘米就得出最长边为4+5-1=8厘米。

已知两条边的长度求能够构成三角形的第三条边的长度，这样的问题对于学生而言，具有很大的挑战性。不同的学生，其认知方式也存在较大差异，因此，应该鼓励不同的学生说出自己真实的想法，与大家一起交流和讨论，这样，就能够促进不同层次的学生在原有基础上得到不同的发展。

在这节课上，学生获得了深刻的学习体验，在每一个问题的引导下，学生经思考之后，离数学定理的距离越来越近。回归数学本质，才是真正意义上的教学。在理解数学学科教育价值的基础上，对师生互动式课堂进行设计与构建，符合新课程改革要求。勤于思考，是学好数学的关键，也是挖掘数学本质内涵的关键，是把握数学思想的关键，也是掌握数学定理的关键。在课堂上，教师应该关注每一位学生的课堂体验，让学生成为有思维的生命体，让学生懂得如何借助自己的思维能力解决问题，让学生的数学思维得到发展，彰显出数学的教育价值。