基于分类讨论思想能力培养的课堂教学

刘俊洁

[摘  要] 分类讨论思想是数学思想的一个分支，它在探究数学概念和解决数学问题中起着重要的作用. 文章以“圆”的教学为例，具体阐述了初中数学教学过程中分类讨论思想能力的培养措施.

[关键词] 圆;初中数学;分类讨论思想

所谓数学分类思想，是将数学现象之间的异同点进行分类之后再讨论的一种思想，具有综合性、逻辑性以及探索性等特征，又可称为数学逻辑思想. 这种数学思想的形成不是一蹴而就的，它需要从学生的学习习惯及认知水平上逐渐渗透，经历一个漫长的过程，形成思想的螺旋式上升，逐渐丰富学生的内涵而达成.

数学分类讨论思想的作用

数学分类能培养学生条理性和周密性的思维能力，分类时要确保不能有遗漏或重复;而讨论则是学生观察数学现象与分类情况，探索其中的数学规律和问题. 学生掌握这种思想方法将会夯实数学基础，提高学生分析问题和解决问题的能力. 这种思想的应用能让一些过于抽象和复杂的数学问题变得简单化，能帮助学生更好地解决数学问题.

运用数学分类思想解决数学实际问题时，先要明确哪些数学问题需要用这种思想，哪些问题不需要. 不少学生面对问题的时候，难以判断问题是不是需要用到分类讨论思想方法，更没办法从问题呈现的条件与结论分辨出与分类有关的位置或数量关系. 因此，遇到问题时，能否快速辨认是否需要使用数学分类讨论思想方法是解决实际问题的关键. 笔者从多年的初中数学执教经验出发，以解决“圆”的问题为例，具体谈谈基于分类讨论思想能力培养的课堂教学.

以解决“圆”的问题为例

圆，既是中心对称图形，又是轴对称图形;具有旋转不变性、任意对称等特殊性. 这些特征给学生解决问题带来了一定的难度. 而分类讨论的方法正适合解决这种具有多种属性和复杂性的数学问题. 因此，笔者在解决与圆有关的问题时渗透分类讨论思想，将问题进行相应的分类与归纳，以帮助学生更清晰地理清问题，从而更好地解决问题.

1. 直线与圆的位置关系不唯一

案例1已知直线l上一点P到圆心O的距离为5 cm，⊙O的半径也是5 cm，试确定直线l与⊙O的位置关系.

分析 部分学生誤认为圆心O到直线l的距离为OP，将直线l上一点P当作垂足，得到直线l与⊙O的位置关系是相切，从而出现漏解.

解答 （1）当OP⊥l时，圆心O到直线l的距离为OP. 因为OP=5，⊙O 的半径也为5，所以圆心O到直线l的距离等于⊙O的半径. 所以此时直线l与⊙O相切.

（2）当OP与直线l不垂直时，圆心O到直线l的距离小于OP的长，此时直线l与⊙O相交.

综上可知，直线l与⊙O的位置关系为相切或相交.

变式直线l上一点P到圆心O的距离是a，⊙O的半径为r，且a=r，试确定直线l与⊙O的位置关系.

2. 弦与弦的位置关系不唯一

案例2 在半径为1的⊙O中， 弦AB=■，AC=■，求∠BAC的度数.

分析 这道题主要考查勾股定理和垂径定理，很多学生只能求出其中一个解. 事实上，应考虑到圆心与两弦的位置关系，分弦AB与AC在圆心O的同侧或异侧两种情况进行求解.

解答 过点O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E，则AD=BD=■，AE=CE=■. 所以cos∠DAO=■=■，cos∠OAE=■=■. 所以∠DAO=45°，∠OAE=30°. 如图1，当AB与AC在圆心O的两侧时，∠BAC=∠DAO+∠OAE=75°;当AB与AC在圆心O的同侧时，∠BAC=∠DAO-∠OAE=15°. 所以∠BAC为75°或15°.

变式 如图2，AB是⊙O的直径，AB=2，弦AC=■，画弦AD，使AD=1，并求∠CAD的度数.

3. 弦与和它所对的圆周角的不唯一

案例3 已知⊙O的弦AB的长和⊙O的半径相等，请求出弦AB所对的圆周角的度数.

分析 不少学生所给的答案只有30°，究其原因，主要是学生对弦所对的圆周角以及点与圆的位置关系没有完全理解. 一个圆上非直径的弦所对的弧有优弧和劣弧，非直径的弦所对的圆周角有钝角和锐角，因此，解题过程中要从优弧、劣弧所对的不同的圆周角这一角度来思考.

解答如图3，连接OA，OB，因为OA=OB=AB，所以△AOB是等边三角形. 所以∠AOB=60°. 当点P在优弧AB上时，∠P=■∠AOB=30°;当点P在劣弧AB上时，∠P=180°-30°=150°. 所以弦AB所对的圆周角为30°或150°.

变式1 已知O为△ABC的外心，若∠BOC=100°，求∠BAC的度数.

变式2 在半径为4的⊙O中，弦AB=4■，求弦AB所对的圆周角的度数.

变式3 在⊙O中，弦AB分圆成1∶4两部分，求弦AB所对的圆周角的度数.

从上面几个解决圆的问题的例题中可以看出，分类讨论思想方法能把一些繁杂的问题变得简单. 学生通过这种思想方法，能快速理清解题思路，明晰解题步骤，让问题变得简单易懂. 其实，这种思想方法不仅能用于解决与圆有关的问题，在初中数学几何、方程、函数、概率或绝对值等方面也有运用. 实践证明，这种思想方法能力的培养能帮助学生更加周密、全面地解决数学问题. 因此，教师在教学过程中，必须从思想上与行动上高度重视分类讨论思想的应用，要将这种思想贯穿课堂的各个环节，让学生掌握，并达到举一反三、触类旁通的学习成效，从而提高学生的学习效率和数学综合素养.