文 缪 娟
圆是初中平面几何中的基本图形之一,是九年级学习的重要章节,知识点繁多,较为复杂。同学们在解决涉及圆的证明或计算等综合型问题时会感到比较困难。如果同学们在审题时弄清题意,拟订计划,就能发现它们是以基本图形为出发点,进行关联,并将推理蕴含其中的。
例题如图1,在△ABC中,∠C=90°,D是AB的中点,过A、C、D三点的⊙O交BC于点E,DF⊥BC,垂足为F。
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)若AC=4,BC=8,求EF的长。
请同学们先弄清已知和未知是什么,再将题干中的已知条件和一些隐含条件进行适当的组合,看看可以得到哪些基本结论。
基于条件“△ABC是直角三角形”最近联想的知识块链
基于条件“D是AB的中点”最近联想的知识块链
基于条件“AC=4,BC=8”进一步最近联想的知识块链
(1)证明:连接OD。
∵D是AB的中点,
∴AD=BD。
又∵OA=OE,
∴OD∥BE。
∵DF⊥BC,
∴∠DFB=90°,
∴∠ODF=∠DFB=90°,
即OD⊥DF,
∴DF是⊙O的切线。
(2)解法一:连接CD。
∵∠C=90°,D是AB的中点,
∴AE是⊙O的直径,CD=BD=AB。
又∵FD⊥BC,
∴CF=BF=BC=4。
连接DE,
则由AE为⊙O的直径得∠ADE=90°。
又∵D是AB的中点,
∴DE垂直平分AB,
∴AE=BE。
设AE=x,则BE=x,CE=8-x。
在Rt△ACE中,
根据勾股定理,得AE2=AC2+CE2。
∴(8-x)2+42=x2,解得x=5。
∴BE=x=5。
∴EF=BE-BF=5-4=1。
解法二:连接DE。
∵∠C=90°,
∴AE是⊙O的直径,
∴∠EDA=90°。
又∵FD⊥BC,
∴∠EFD=∠EDB=90°,
∴△DEF∽△BDF,
∴EF∶DF=DF∶BF。
∵CD=BD,DF⊥BC,
∴FC=FB=BC=4。
又∵D是AB的中点,
∴DF=AC=2,
∴EF∶2=2∶4,
即EF=1。
解法三:连接DE。
∵四边形ACED是圆的内接四边形,
∴∠DEC+∠DAC=180°。
又∵∠DEC+∠DEF=180°,
∴∠DEF=∠DAC。
∵∠DFE=∠ACB=90°,∠DEF=∠DAC,
∴△DEF∽△BAC,
∴EF∶AC=DF∶BC,
∴EF=1。
【点评】第(1)问考查了切线的判定,我们可以运用切线的判定定理证明。第(2)问是求线段长度。同学们对EF的“定位”是本题一题多解的条件,可以联想到用相似三角形、勾股定理等方法解决问题。在本题中,若将EF“定位”于△DEF中,只需要找到适当的三角形与其相似即可求解;若将EF视为BE上的一段(当然,也可理解为CF上的一段),可将EF“转化”为BE(或CE)求解。
在解决复杂的几何题时,我们需要对常见的基本图形熟知,并能从复杂图形中“分离”出基本图形。比如,本题中包含的“直角三角形斜边上的中线”“等腰三角形的三线合一(垂直平分线)”“三角形的中位线”“A字形”“子母直角三角形”等基本图形。我们如果能巧妙地对较为复杂的几何图形进行分解,就能化繁为简,找到解题的突破口。