纠错解惑，“圆”题重现

文 曹小龙

文 谢蓓蓓

圆中的考点繁多，它往往综合了直线图形的所有知识、方法及思想。因此，其出错率也相对较高。

一、题中虽无圆，心中应有圆

例1（2020·江苏南京）如图1，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1=39°，则∠AOC=________°。

【错解】错误度数。

【错因】简单问题复杂化或计算失误。连接AC，想用△AOC的内角和，或欲用“镖形”求解，纠结于求∠A与∠C，或不知∠1=39°有何用，没有思路。

【正解】78。

【剖析】本题方法众多，主要利用线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质等（如图2、图3），均要由∠1=39°得其补角∠DOE或内对角∠B。但最优解可以用圆的知识快速解决（如图4），由四边形内角和易得∠B=∠1=39°，由点O是垂直平分线交点易得∠AOC实为⊙O中圆周角∠B所对圆心角。

二、题目若无图，多半要分类

例2（2020·黑龙江鸡西）在半径为的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，AB=CD=4，则S△ACP=________。

【错解】答案写不全。

【错因】只画出一种符合题意的示意图，未考虑字母的位置分类，导致漏解。

【正解】或或。

【剖析】本题考查了垂径定理及勾股定理等知识。如图5，作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OD、OB，则=2。在Rt△OBE中，OE=1，同理OF=1，易证四边形OEPF为正方形，PA=PC=1，则S△ACP=。同理，如图6、图7，S△ACP分别为或。若题目中无图，我们则应特别注意对形状、位置等进行分类讨论。

三、圆与线相切，无点作垂直

例3（2020·辽宁营口）如图8，△ABC中，∠ACB=90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D。求证：AB为⊙O的切线。

【错解】连接OH，再证OH⊥AB……

【错因】AB与⊙O的公共点情况是未知的，图中也未标字母，连接OH无据可依。

【正解】证明：如图9，过O作OH⊥AB于H。

∵∠ACB=90°，∴OC⊥BC。

∵BO为△ABC的角平分线，OH⊥AB，

∴OH=OC，即OH为⊙O的半径。

∵OH⊥AB，∴AB为⊙O的切线。

【剖析】圆的切线本质是圆心到直线的距离等于半径。切线的证明主要有两类：有交点可连半径，证垂直；无交点可作垂直，证半径。我们应视具体情况选择，本题属后者。

四、论证莫虚假，逻辑链要完整

例4（2020·上海）如图10，△ABC中，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D。（1）求证：∠BAC=2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD=2，CD=3时，求边BC的长。

【错解】（1）连接OA。∵AB=AC，

∴∠BAO=∠CAO……

（2）若BD=BC，则∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD=67.5°；

（3）由（2）得△BCD∽△ACB，则BC2=CD·AC……

【错因】（1）推理过程缺失，逻辑链条断裂；（2）思维定式，被图形的特殊位置限制；（3）沿用不可用的第（2）小题的条件，实为虚假论证。

【正解】（1）证明：如图11，作直径AG交BC于H。

∵AB=AC，∴，

∴∠BAO=∠CAO，AH⊥BC。

∵OA=OB，∴∠ABD=∠BAO，

∴∠BAC=2∠ABD。

（2）解：①若BD=BC，

则∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD，

∵AB=AC，∴∠ABC=∠BCD，

∴∠DBC=2∠ABD。

∵∠DBC+∠BCD+∠BDC=180°，

∴8∠ABD=180°，

∴∠BCD=3∠ABD=67.5°。

②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD，

∴∠BCD=4∠ABD。

∵∠DBC+∠BCD+∠CDB=180°，

∴10∠ABD=180°，

∴∠BCD=4∠ABD=72°。

③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在。

（3）解：如图12中，作AE∥BC交BD的延长线于E。

设OB=OA=4a，则OH=3a，

∵BH2=AB2-AH2=OB2-OH2，

∴25-49a2=16a2-9a2，

∴BC=2BH=。

【剖析】本题综合考查了垂径定理、等腰三角形的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识点，解题的关键是学会添加适当的辅助线构造基本图，难点是比例转换，利用参数构建方程。