基于稀疏恢复的自适应角度多普勒补偿方法

郭艺夺，宫 健

(空军工程大学防空反导学院，陕西西安 710051)

0 引言

空时自适应处理(Space Time Adaptive Processing, STAP)[1-2]方法能够抑制地面杂波，检测慢速目标，其杂波抑制性能取决于由训练样本单元估计的杂波协方差的准确度。在实际中，待测单元的杂波协方差是由与待测单元独立同分布(Independent Identically Distributed, IID)的训练样本单元估计得到的，但在机载非正侧阵雷达系统中，杂波多普勒频率和空间频率具有严重的距离相关性，尤其是近程条件下，距离相关性更加显著，使得训练样本单元与待测单元波分布不满足IID条件[3-4]，进而无法以训练样本单元来准确估计待测单元的杂波协方差矩阵，使得STAP方法的杂波抑制性能下降，无法有效检测慢速目标。

补偿距离相关性的方法有很多，包括多普勒弯曲(Doppler Warping, DW)[5]、角度多普勒补偿(Angle Doppler Compensation, ADC)[6]、空时内插补偿(Space Time Interpolating Technique, STINT)[7]和基于配准补偿(Registration Based Compensation, RBC)[8]等方法。自适应角度多普勒补偿(Adaptive Angle Doppler Compensation, A2DC)方法[9]及其改进方法[10]是一种补偿非正侧阵雷达杂波距离相关性的常用方法。该方法利用雷达杂波回波数据通过子孔径平滑估计杂波主特征向量的最小方差无失真响应(Minimum Variance Distortionless Response, MVDR)谱，基于此估计训练样本单元和待测单元的杂波谱中心位置，然后将训练样本单元的杂波谱中心分别沿角度和多普勒方向平移，使得平移后训练样本单元的MVDR谱中心与待检测单元的MVDR谱中心重合。由于该方法利用雷达杂波回波数据自适应计算各训练样本单元的转换矩阵，因此可有效降低了载机平台提供的飞行配置参数误差对补偿性能造成的影响。

然而，A2DC方法估计的杂波分布特性是基于子孔径平滑获得的，孔径损失使得空时谱分辨率有一定程度的损失，系统自由度(Degree of Freedom, DOF)下降，影响后续补偿过程性能，导致变换后的各训练样本单元平稳性下降，杂波抑制性能受限。此外，A2DC方法在计算各距离单元杂波的主特征向量的MVDR谱中心位置时，通常先要利用特征分解求得各距离单元杂波协方差矩阵的主特征向量，而典型的矩阵特征分解方法如特征值分解和奇异值分解算法的运算量都非常大，这使得A2DC方法实现起来较为复杂，限制了其应用。文献[10]利用投影逼近子空间追踪(Projection Approximation Subspace Tracking，PAST)方法解决A2DC方法运算量大的问题，但PAST方法并不是全局收敛的，可能陷入局部极小点而无法得到全局最优解。

针对上述问题，本文提出了基于稀疏恢复(Sparse Recovery, SR)[11]的A2DC方法——SR-A2DC方法。该方法首先对不同距离单元的回波数据进行稀疏恢复，得到杂波空时分布谱，并计算杂波协方差矩阵，已避免常规A2DC方法孔径损失带来的影响；然后利用正交近似投影子空间追踪(Orthogonal PAST, OPAST)[12]方法估计不同距离单元的杂波主特征向量，降低运算量；最后估计主特征向量的空间频率和多普勒频率，计算空时转换矩阵，将训练样本单元回波数据与待测单元的回波数据进行配准。理论分析和仿真实验表明，该方法可以实现杂波距离相关性的自适应补偿，提高主瓣杂波的补偿效果，减少运算量，在存在误差时也能获得较好的处理性能。

1 杂波模型及A2DC方法

1.1 杂波模型

机载雷达第l个距离单元的杂波数据由该距离单元上的多个离散杂波块叠加而成：

(1)

式中，P为离散杂波块个数，σi为第i个杂波块对应的复幅度，wt和ws分别为杂波的归一化多普勒频率和空间频率，Si为对应的空时二维导向矢量：

Si(wt,ws)=St,i(wt,i)⊗Ss,i(ws,i)

(2)

式中，St,i和Ss,i分别为时域导向矢量和空域导向矢量：

(3)

式中，wt,i=2πfd,i/fprf，ws,i=2πdfs,i/λ，N和K分别为天线阵元数和相干脉冲数，fd,i和fs,i分别为杂波对应的多普勒频率和空间频率，d和λ分别为阵元间距和波长。

非正侧阵雷达杂波的多普勒频率和空间频率与俯仰角和方位角的耦合关系为

(4)

fs,i=cosφicosθi

(5)

式中，θi和φi分别为杂波对应的方位角和俯仰角，v0为载机速度，θp为天线阵面与载机速度之间的夹角。

1.2 A2DC方法

A2DC方法首先以空域和时域的孔径损失为代价估计各距离单元的杂波协方差矩阵；接着对估计得到的杂波协方差矩阵进行特征分解，得到主特征向量，然后计算各个距离单元主特征向量的MVDR谱中心位置；最后以待测单元为基准，通过角度和多普勒平移，使得各训练样本单元主特征向量的MVDR谱中心与待测单元主特征向量的MVDR谱中心重合。其具体实现步骤如下。

第一步，利用子孔径平滑法获得该距离单元的杂波协方差矩阵。

子孔径平滑法首先将第l个距离单元的雷达回波数据Xl∈CNK×1变换成矩阵Xl∈CN×K：

(6)

设空域子孔径和时域子孔径分别为P和Q，对Xl进行空时平滑可以得到D=(N-P+1)·(K-Q+1)个子矩阵Xu,v∈CP×Q为

(7)

式中：u=1,2,…,N+P-1；v=1,2,…,K-Q+1。

由子孔径平滑得到的杂波回波数据子矩阵，可估计第l个距离单元回波的协方差矩阵Rsl∈CPQ×PQ为

(8)

其中，Vec(Xu,v)表示将矩阵Xu,v的第2列置于第1列的下面，第3列置于第2列的下面，以此类推，使矩阵Xu,v变为一列向量。D的值应不小于杂波协方差矩阵Rl的列数，即D≥PQ，以确保Rl为满秩矩阵。

第二步，对杂波协方差矩阵进行特征值分解，得到相应的主特征向量。

在得到各距离单元的杂波协方差矩阵估计后，A2DC方法利用特征值分解求得杂波协方差矩阵Rl的最大特征值λl,max及其对应的最大特征向量hl,max。

第三步，根据主特征向量的相位信息估计得到主特征向量的MVDR谱中心的多普勒频率和空间频率。

主特征向量的MVDR谱中心的位置可以通过二维峰值搜索计算得到，也可以直接通过主特征向量的相位信息估计得到。后者需要估计杂波协方差矩阵Rl的主特征向量的空间相位斜率κl,s和时间相位斜率κl,t，利用它们与空间频率和多普勒频率的线性关系计算主特征向量的MVDR谱中心的多普勒频率fl,d和空间频率fl,s。

(9)

第四步，计算训练单元与待测单元主特征向量MVDR谱中心的多普勒频率和空间频率之间的差值为

(10)

接着，根据训练样本单元和待测单元的MVDR谱中心的多普勒频率和空间频率，计算各个训练样本单元的空时转换矩阵TA2DC,l，对训练样本单元接收回波数据进行补偿，其中，第l个训练单元的转换矩阵为

TA2DC,l=Ttl⊗Tsl

(11)

式中，

(12)

(13)

经过A2DC补偿后的第l个距离单元的雷达回波数据为

(14)

2 SR-A2DC方法

由以上分析可知，A2DC方法可以自适应实现杂波距离相关性补偿，但该方法需要对杂波协方差矩阵Rl进行特征分解，使得计算空时转换矩阵TA2DC,l的运算量巨大，且由于孔径损失，Rl的估计准确度不高，以上两点使得A2DC方法的应用受限。

2.1 基于稀疏的杂波协方差矩阵求解

由式(1)可知，机载雷达回波数据是由不同空间频率和多普勒频率的回波数据叠加而成的，将空间频率和多普勒频率分别遍历并离散为Ns=ρsN，Nd=ρdN个分辨单元，则第l个距离单元的杂波回波数据可以表示为

(15)

式中，ρs和ρd分别表示空间频率和多普勒频率的离散化程度，在高分辨情况下一般远大于1；Sq(wt,q,ws,q)为第q个空时导向矢量，γq为其对应的复幅度，wt,q和ws,q为对应的多普勒频率和空间频率；αl=[αl,1,αl,2,…,αl,NsNd]代表雷达回波数据在空间频率-多普勒频率域上的幅度分布，即杂波空时谱；Ψ为超完备基矩阵：

(16)

估计杂波空时谱等同于在方程(15)中已知Xk和Ψ而求解αl。由于Ψ的列数NsNd远大于行数NK，因此方程(15)属于欠定方程，存在多个可能解。根据稀疏恢复理论，当杂波空时谱αl具有稀疏性时，欠定方程可以较高的概率求解。

针对上述问题的求解方法主要有3种，即凸优化方法[13]、FOCUSS算法[14]和MP算法[15]，其中，FOCUSS算法不利用可能存在误差的先验知识，采用后验知识迭代加权，使解的能量逐步集中，可以避免误差带来的不利影响，且FOCUSS算法在初值设置合理时通常可获取较好的谱估计性能，同时运算量相比范数最小化方法大大降低。因此综合考虑算法性能和运算量，本文选择FOCUSS算法进行计算。

实际中，仅利用待测单元恢复得到的杂波空时谱与真实杂波空时谱相比存在一定差异，一方面，如果待测单元中存在目标，则后续的处理会将目标同时抑制；另一方面，稀疏恢复估计的杂波空时谱存在过于稀疏的问题。为了更准确地表示杂波空时谱分布，一般采用对临近训练样本单元稀疏恢复进行平均的方法。需要特别强调的是，训练样本单元必须选择与待测单元相邻，以保证杂波近似独立同分布。

对式(15)进行求解，得到杂波的空时谱分布αl，则可获得对应的杂波协方差矩阵估计：

Sq(wt,q,ws,q)H

(17)

式中，αq为杂波空时谱估计在第q个位置上的杂波复幅度；Sq(wt,q,ws,q)为第q个空时导向矢量。

2.2 引入OPAST算法估计杂波主特征向量

A2DC方法的第二步是对杂波协方差矩阵进行分解得到主特征向量，但是传统的特征分解方法如特征值分解和奇异值分解等，虽然性能优越，但运算量大，特别是对于大线阵而言，不利于实时实现。快速子空间跟踪方法是一种新的特征值分解方法，其中PAST和PASTd算法收敛速度快，误差小，但该方法不是全局收敛的，而正交PAST(OPAST)算法相比PAST算法，在运算量增加不多的情况下，可以保证全局收敛。本文利用OPAST算法对杂波协方差矩阵进行特征值分解，获得主特征向量，以降低A2DC方法的运算量。

OPAST算法将特征子空间的确定转化为一种无约束的最优化问题进行求解，定义的无约束代价函数为

(18)

式中，Rl为第l个距离单元的杂波协方差矩阵估计，矩阵变元Wl∈NK×r(r≤NK)，Tr(·)表示矩阵的迹。

在利用递推最小二乘算法求解代价函数的全局最小值时，为保证全局收敛和矩阵变元Wl的规范正交性，在每次迭代中对矩阵变元Wl进行正交化，即引入正交化公式：

(19)

当代价函数J(Wl)取得最小值时，Wl收敛于杂波子空间的一组正交基上，特别地，当r=1，即Wl∈NK×1时，最小化J(Wl)得到Wl，即为Rl的归一化最主要特征向量。

与常规A2DC方法相比，利用OPAST算法求解杂波协方差矩阵的主特征向量，运算量从O(NK3)减少为4NKS+O(S2)，其中，S为杂波协方差矩阵Rl的秩。

3 仿真实验

选取斜侧阵(θp=60°)机载相控阵雷达进行仿真实验，其中实验条件为：发射接收阵元数均为12；相干脉冲间隔内的脉冲数为12；阵元间隔0.16 m，载机高度8 km，载机速度120 m/s，波长0.32 m，脉冲重复频率3 000 Hz；杂噪比60 dB，雷达最大作用距离800 km；雷达主波束方位角为90°；待测单元145，假设对应的距离为25 km，且不存在距离模糊。

采样协方差求逆方法(LSMI)的训练样本数为2NK；稀疏恢复中，训练样本数为4；空间频率和多普勒频率离散化程度均为8，即ρs=ρd=8；子空间平滑的空域子孔径和时域子孔径为P=Q=6。

实验1：杂波空时谱估计

本实验对比真实杂波功率谱、未经补偿的LSMI法的杂波功率谱、常规A2DC方法子孔径平滑法的杂波空时谱和本文SR-A2DC方法估计的杂波空时谱，如图1～图4所示。

图1 真实杂波功率谱

图2 未经补偿的LSMI法估计的杂波功率谱

图3 A2DC方法子孔径杂波空时谱

图4 SR-A2DC方法全孔径杂波空时谱

由图1和图2可以看出，在非正侧阵的情况下，由于杂波具有距离相关性，使用LSMI方法直接利用训练样本单元估计待测单元的杂波协方差矩阵，不同距离单元的杂波叠加在一块，会导致杂波谱严重展宽。由图3和图4可以看出，常规A2DC方法得到的杂波空时谱，由于子孔径平滑造成的孔径损失，存在能量扩散和部分杂波分布难以估计的问题；SR-A2DC方法利用FOCUSS方法估计杂波空时谱，不存在孔径损失，因此准确度和分辨率更高。

实验2：杂波谱中心多普勒频率和空间频率

本实验对比常规A2DC方法特征值分解(Eigen Decomposition, ED)和本文SR-A2DC方法OPAST算法估计的杂波谱中心多普勒频率和空间频率与真实值之间的差异，如图5、图6所示。

图5 归一化多普勒频率对比

图6 归一化空间频率对比

从图5和图6可以看出，相比常规A2DC方法特征值分解估计的杂波谱中心多普勒频率和空间频率，本文SR-A2DC方法OPAST算法准确性更高。这是因为，OPAST算法能够以较高的收敛速度保证较小的误差，而基于稀疏恢复的杂波空时谱估计不存在孔径损失，两者结合性能优于常规A2DC方法。

实验3：补偿效果对比

本实验对比常规A2DC方法和SR-A2DC方法对杂波距离相关性进行补偿的补偿效果，并以改善因子为基准衡量不同方法的杂波抑制性能，如图7～图9所示。其中，改善因子的定义为输出信杂噪比(Signal to Clutter-plus-Noise Ratio, SCNR)与输入SCNR的比值。

由图7和图8可知，A2DC方法和SR-A2DC方法均能对非正侧阵杂波距离相关性进行补偿，经过补偿后，主瓣杂波基本配准，但由于A2DC方法是基于子孔径平滑，存在孔径损失，补偿性能在一定程度上受限，而SR-A2DC方法是基于全孔径的，不存在孔径损失，可获得更高的分辨率，设计的空时转换矩阵更加有效，因此补偿性能更优。

图7 A2DC方法杂波距离相关性补偿效果

图8 SR-A2DC方法杂波距离相关性补偿效果

由图9可知，经过本文SR-A2DC方法进行杂波距离相关性补偿后，利用LSMI方法估计杂波协方差矩阵，计算空时滤波器权值，可以在主杂波处形成深凹口，且相比A2DC方法更窄，对慢速目标的检测能力可提高5～10 dB。而利用A2DC方法设计的空时滤波器，则存在着凹口偏移、展宽等问题。

图9 杂波抑制性能

4 结束语

本文详细分析了常规A2DC方法的原理和步骤，针对该方法存在孔径损失和运算量大的问题，提出了基于稀疏恢复的SR-A2DC方法，并将OPAST算法引入到杂波协方差矩阵特征分解中。理论分析和仿真实验表明：1)所提的SR-A2DC方法可以避免空时损失带来的影响，减少运算量；2)SR-A2DC方法与常规A2DC方法，杂波距离相关性补偿性能更优，更适于工程实现；3)由于本文使用稀疏恢复估计杂波空时谱，而稀疏恢复求解所构造的超完备矩阵存在着基失配(off-grid)等问题，因此，如何减少或者消除off-grid的影响，自适应设计超完备基矩阵，获得更加准确的杂波空时谱分布，是下一步研究工作的重点。