《高等代数》课程教学改革实践与认识

孙水玲

【摘  要】数学课程改革是数学教育改革的核心。文章通过作者多年的教学实践，针对高等代数课程教学中存在的诸如教学内容结构、教学手段方法等问题，以实践为基础，以教材为依托，以学生为主体，从教材内容、教学方法和教学手段方面进行思考与探索。

【关键词】高等代数;教学手段;教学方法;教学改革

引言

高等代数不仅是中学代数的延拓，也是现代数学的基础。它是理科生必修的一门重要基础理论课程。本课程的教学目标是通过该门课程的教学使学生掌握高等代数的基本概念，基础理论和基本方法，为后继课程打下坚实的基础;同时通过本课程的教学使学生领会代数学的基本思想，学会将实际问题代数化，培养学生运用高等代数知识解决实际问题的能力。然而由于本课程概念多，内容抽象，理论性强，思维方式独特，学生普遍反映难学。说它难学有课程的客观原因，同时也有学生的主观因素，刚入学的大学生往往不能尽快适应大学的学习环境和特点，普遍缺乏大学的学习方法、策略以及思维技能，这给他们的学习带来很大的困难。为此，我们做了下列改进。

1.合理安排教学内容，有助于增强学习兴趣

众所周知，高等代数与线性代数最大的区别之一就是高等代数增加了多项式的内容，这部分内容逻辑性强，抽象度高，而多数教材，往往会把这一内容安排在第一章，初学者对内容的抽象感无所适从，畏难情绪从第一课就开始了。如何处理这种情况？从内容的衔接上来看，多项式与随后的行列式、线性方程组、矩阵、二次型这些内容没有关联，到线性变换章节需要用它的时候却相隔甚远，如果把多项式放与线性空间内容相连，无论是从内容的衔接还是从学生的接受程度来讲，都是比较恰当的。此外，行列式、线性方程组内容相对简单易学，这样完成从初等数学到高等数学的过度，跳跃不大。教学实践表明，这样的内容调整学生学起来感到轻松自然，学习效果有明顯改善。

我们知道，行列式与矩阵是两个截然不同的概念，但由于它们有着千丝万缕的联系，学生很容易混淆。有些课本中是将矩阵的初等变换内容插入到行列式的计算中，其实这是完全不必要的，行列式的运算只要利用性质就足够了，不必涉及矩阵内容。至于矩阵与行列式以及矩阵的初等变换和行列式性质之间的联系到矩阵内容认识也为时不晚，而且，这样两个内容不易混淆。当然，对于课程内容的调整，我们既要从知识结构的先后顺序考虑，从方法论的角度考虑，任何数学知识中都包含一定的数学方法，获得知识的同时，必然会接触数学方法;又要从学生认知的规律考虑，学生的认识规律应该是：从易到难，从简到繁，由浅入深，循序渐进。综合上述理由， 课程内容的合理安排和适当调整，有助于学生学习效率的提高，同时也会增强学生学习的积极性。

2.以初等数学为基础，由浅入深，循序渐进，有助于高等代数的理解

对于一年级的大学生来说，高等代数的内容是全新的概念，全新的思维方式，多数同学感觉知识衔接不上。其实，高等代数的许多内容都可以从初等数学中找到源头，在对比中辨别高等代数与初等数学在处理问题思维方式上的异同。譬如，多项式教学中，先是复习初等数学中多项式的概念，然后引入高等代数的多项式概念，利用类比的方法，让学生知道高等代数中多项式所含只是一个形式上的文字符号，它可以表示数，也可以表示矩阵、函数等等，而初等数学中多项式所含只能表示一个数。高等代数中的多项式在一般情况下，是一个形式的表达式，而初等数学中只表示一个函数，它们是特例与一般的关系。从上面的讨论情况可看出，两种多项式彼此间却存在着层次上的差别。教学中应及时与中学教材中多项式的概念、性质联系对照，比较其观点与方法上的区别与联系，让学生明确初等数学中多项式概念的局限性，高等代数中多项式理论的广泛性。认识其一般性与概括性的特点，这不仅能提高学生的学习自觉性，也能使学生逐步弄清高等代数与初等代数在处理问题着眼点上的差异。

3.善于利用恰当示例，有助于抽象概念的消化

高等代数课程内容有三多，即概念多，定理多，结论多，但例题少。这给同学们对抽象内容的理解带来很大困难，经常出现的问题是，课听懂了，书看懂了，但题目不会做。其实这种懂不是真正意义上的懂，只是形式上的懂或表面上的懂，没有理解内容的本质。如果结合恰当的例题讲解抽象的新的内容，将有助于学生对新内容的理解。例如，线性空间这个概念中，定义了加法“+”和数量乘法“·”两种运算，满足八条规则。学生对这两种运算往往是停留在表面和符号上面，由于他们只习惯于通常的数的加法和乘法运算，所以不能完全理解这两种运算的深刻含义。另外，对线性空间的零元素“0”，学生们也只是认为是数0。教材上在这里给出的几个例子，由于集合上定义的运算均为通常意义下的加法和数量乘法，所以，学生不能深刻体会和认识线性空间上这两种运算的真正意义，导致学生出现“课听得懂，书看得懂，就是不会做题”问题。如果在讲解这个概念时，结合下面的例题，学生就能对线性空间的概念有一个透彻的理解和认识。例题：设是全体正实数的集合，定义线性运算如下：

（1）加法：对，定义  ;

（2）数量乘法：对，定义

问在这样定义的线性运算下，是否构成实数域上的线性空间？

这里定义加法，实际上是我们通常运用的数的乘法运算，而这里定义的数量乘法，就是我们通常运用的数的乘方运算。满足零元条件的数是1。通过这个例子的讲解，同学们才充分认识到，线性空间上定义的两种运算有其自身的含义，线性空间是依托于这两种运算的。线性空间的零元素和数0在数的通常意义的加法运算中作用相同，但未必就是数据0，也就是空间上任意元素和“零”元素作加法不变，但这个加法是这个线性空间上定义的加法。

4.理论联系实际，有助于激发学生的学习积极性

低年级的大学生心怀各种梦想，但却很迷茫。所学不知其所用是普遍存在的问题。所以我们在教学中适时地介绍高等代数理论和方法在其它不同领域的应用，不仅可以加深学生对新学理论的理解和认识，还可以使学生了解所学知识的用处，并可培养学生理论联系实际的良好作风，激发学生学习的积极性。

5.适当的现代技术手段和信息技术的使用，有助于教学效率的提高

今年突如其来的疫情迫使国内外各大中小学校不得不采用网络授课，一个学期的网课教学使我学到了很多，也认识到，现代化教学方法势在必行。虽然人们对高校数学课程引入现代化教学手段认识观点褒贬不一，但不可否认的是，现代化教学手段的使用，可以提供更多的信息量，可以增加内容的直观性，可以解放教师的手脚节省体力，可以让教室更加的环保。可以利用网络把更好的资源引入课堂，还可以利用网络平台直接录播课堂教学，学生可以集中注意力认真听讲，课后通过回放整理笔记，会使学习效率更高。同时，还可以利用网络平台把课堂延伸到课下，因为这个平台不需要固定场所、高端设备和固定时间，它提供的是一个立体化的教学环境。当然，现代化教学手段的使用要适度，关键是如何才能把先进的现代化手段同传统的教学方法有机地结合，在数学教学中不断寻求现代化教学的规律、教学方法，在实践中不断发现问题，总结经验，逐步加以改进和完善。在教学改革、提高教学质量上发挥它们的重要作用，这才应该是我们努力的方向和目标。

参考文献

[1] 李建平，如何实现信息技术与教学整合[J]，中国教育报2003年11月11日第2版.

[2] 《高等代数》（M）（第四版）北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组 编，王萼芳 石生明 修订，高等教育出版社，2013年8月.