例谈同构转化法在解题中的应用

李红春 孔 峰

(湖北省武汉市黄陂区第一中学盘龙校区，430312) (湖北省武汉市教育科学研究院 ，430032)

波利亚说，掌握数学就意味着要善于解题,对于解题方法的研究,总能吸引许多数学爱好者为之探究.笔者发现,近年来,有一类数学问题用常规方法求解难度颇大,若用同构转化法求解,则能出奇制胜.

具有相同结构的两个代数式不妨称为同构式,两个同构式可以由同一个代数式通过变量代换得到.所谓同构转化法,就是将式子的两边整理为结构一致的代数式,从中抽象出母函数,再借助母函数的单调性,将函数值的大小关系,转化为整体自变量的大小关系.本文结合实例,就以下四类问题谈谈它在解题中的应用,希望对大家有所启发.

一、比较大小

例1(2020年全国高考理科12题)若2a+log2a=4b+2log4b，则

(A)a>2b(B)a<2b

(C)a>b2(D)a

解因为4b+2log4b=22b+log2b=22b+log2(2b)-1<22b+log2(2b)，所以2a+log2a<22b+log2(2b).

设f(x)=2x+log2x,易见f(x)在(0,+∞)单调增,故由上可得f(a)

(A)a=b(B)a

(C)a>b(D)a,b的大小不确定

解容易证明:当x∈R时,ex≥x+1,当x=0时取等号.

一方面，f(x)=ex+ln x-lnx-x-2≥x+lnx+1-lnx-x-2=-1,当x+lnx=0时取等号(分析可知m(x)=x+lnx有零点,故等号可取得),则f(x)min=-1,即a=-1.

另一方面，g(x)=ex-2-ln x+lnx-x≥x-2-lnx+1+lnx-x=-1,当x-2-lnx=0时取等号(分析可知n(x)=x-2-lnx有零点,故等号可取得),则g(x)min=-1,即b=-1.

所以a=b,选A.

二、求最值

例3对任意x>0,不等式2ae2x-lnx+lna≥0恒成立,则实数a的最小值为( )

①

2λxe2λx≥(lnx)eln x.

②

当lnx≤0时,②式显然恒成立.

三、求范围

当m≤0时,以上不等式显恒成立.

综上，m∈(-∞,2e].

四、求值

例5已知实数x1,x2满足x1ex1=e3,x2(lnx2-2)=e5,则x1x2的值是______.

设f(x)=xex(x>0),则

f(x1)=f(lnx2-2).

由x1ex1=e3>0，可知x1>0；同理，由eln x2-2(lnx2-2)=e3>0，可知lnx2-2>0.又f′(x)=(1+x)ex>0,f(x)在(0,+∞)单调增,故x1=lnx2-2.

代入x1ex1=e3，得x1elnx2-2=e3,即x1x2e-2=e3,所以x1x2=e5.

综上可见,同构转化法体现了数学中等价转化思想,解题过程中要求学生从已知式的结构出发,细心观察、大胆猜想,通过构造函数并利用其单调性解决问题.同构转化法对学生直观想象能力、抽象概括能力、推理论证能力提出了一定的要求,而这正是高中数学新课标核心素养中不可或缺的重要内容.