国际高中数学融合课程的教学模式探索与实践

张靖

一.融合课程教学的现代背景

近十几年来，随着改革开放的日益深化，我国的教育、经济、科技等多方面都取得了突飞猛进的进展，在实现教育大国崛起的基础上开始向教育强国迈进。除了加强本国的基础教育和科学研究，在全球化背景下，教育资源在全世界范围内进行着广泛的流动与重新配置，教育“走出去”与“引进来”相结合，我国的教育国际竞争力不断增强。截止到2018年底，全国共有国际学校1309所，平均每所学校在校生人数达392人。2012-2019年以来每年全国新增国际学校超过40所。同时，预测国际学校在未来十年内将继续保持强劲增长，预计到2028年全球国际学校总数将超过16000所，在校生将接近1000万人，分别较2018年同比增长67%和96%。

开展双语教学实践或者引入国外课程本土化教学是很多国际学校课程建设的重点，系统的融合课程更加凸显了学校的核心竞争力。近十年来，我校通过双语教学实践，逐渐探索出适合本校学生双语教学的科学途径，不仅在整体提升学生的英语水平及应用英语的基本能力上效果显著，而且在数学学的过程中，注重学生主动地建构知识、应用知识，激发出学习的兴趣和自信，也是培养学生数学核心素养的体现。我校设有独特的国际选修课程，为学生搭建更多跨文化学习的平台。我校初中双语数学选修课程使用的是英国牛津出版社出版的IGCSE教材，高中英美双语选修课程使用的是PearsonHall出版社出版的Algebra2，英美等国家的数学教材往往在内容上比国内的教材更具有趣味性和实际的生活意义，而且在编写体例上侧重于知识层面的普及，但不及国内的数学教材那么严谨和全面。而且非常有限的题库远远满足不了国内教师与学生的需求，也没有系统的习题册。于是我校教师在平时教学中，通常在国外教材的基础上与国内必修教材进行整合，在教学教法上不断探究，不仅重视基本知识与技能的培养，在结合我国学生强的“运算”、“推理”和“知识结合程度”能力上，注重培养乐于思考的兴趣知识的应用能力。

二.融合课程教学的研究原则

1.前瞻性原则

为实现国家的科技创新，关键在于创新人才的培养。双语教学的课堂是中国教育国际化发展的大趋势，能够体现国家加强数学等基础学科的宏观发展与教育改革的现实需要，同时符合相应教学改革的时代要求。数学双语课堂的教学多以多媒体、图形计算器等当代信息技术产物为依托，提高学习和生活效率，有利于呈现出崭新的学习模式。

2.融合性原则

把国家数学教学大纲，特别是人教版的七本教材，与国外教材大纲平行比较，整合教材，精心设计教材内容。做到既保留国家课程的核心、主干和精髓，同时融合课程将对国外先进国家的教学内容、教学方法、解题方法、数学史料、数学文化、数学竞赛中的优秀试题进行深度融合。

3.导向性原则

融合课程的最大特点是在夯实国家课程的同时，充分学习、借鉴国外优秀课程与教学实践成果，对其它跨学科的课程融合具有启发和借鉴意义。课程设置时，教师需充分考虑到每一位学生的数学水平发展，安排不同层次的例题、练习，为学生创造个性化学习的机会，也让一部分数学资优生能得到尽可能的发展，体现了教育个性化发展的理念。

4.目标性原则

学生学习融合课程并不一定是为了出国，目前我国越来越多的高校也同样开设双语课程。若学生在中学阶段已经具备运用英语进行数学思维的锻炼，以及获取知识和信息传递的能力，可直接对接国内外高校，进一步提高综合競争力，未来在世界舞台上做中国文化的传播弘扬者。

三.数学融合课程具体教学案例

展示课一：浙教版九下《锐角三角函数》Trigonometric functions of acute angles

1.开课背景

锐角三角函数是义务教育数学课程标准中“图形与几何”领域的重要内容，是在学生已学了一次函数和反比例函数基础上进行的，它反映的是角度与数值之间的对应关系。这部分内容包括锐角三角函数的概念，以及利用锐角三角函数解直角三角形的内容。《课程标准中》提到能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际的问题，注重引导学生在全面掌握直角三角形边角关系。感悟模型思想，感受数学的价值。

2.教学设计

（1）问题引入，设置情境

教师提问：这些图片有什么共同点？你们是用什么方法怎么描述不同的斜面的？

What do these pictures have in common？ What do you use to describe a slope？

学生回答：学生有的说是角度不同，陡峭程度不同;也有的说是按斜面的长度不同来区分，也有的学生提出来用边与边的比值。

设置目的：首先通过一些具体斜坡的图片，由老师来提出一系列问题。学生自发讨论，引出斜面问题的研究。让学生来提出各种描述斜面的方法，于是有了这节课将要探讨的主要内容。

（2）课堂活动，全体参与

活动1：请作出一个Rt△ABC ， 。量出每条边的长度，完成下列表格后小组讨论。

Draw a Rt△ABC ， .Measure each side of the triangle and complete the table， round your answers to the nearest tenth （1 decimal place）.

学生总结：各小组内成员比较数据，发现他们得到的直角三角形尽管边长都不一样，但是得到的比值却都是相等的。

设置目的：注重小组合作，学生全体参与，由代表总结发言。最后由老师帮助归纳总结边角关系，得到角度一定，比值不变的结论。

教师通过几何画板进一步演示，分别画出学生在刚才课堂活动中可能得出的两种直角三角形，帮助学生进一步从几何直观上感受角度改变，比值改变;角度不变，比值不变。而且无论学生画的是哪一种直角三角形，都能得出相同的结论。从而得到锐角三角函数的概念，分别得到锐角三角函数正弦、余弦、正切的定义。

活动2：仍采取小组合作的形式，每小组给出任意的一个直角三角形和各种标签，小组讨论后把标签贴到白板上，然后完成锐角三角函数的计算。Calculatethefollowingvaluesoftrigonometricfunctions.

学生们在白板上完成如下展示：

设置目的：各小组成员积极互动，相互配合完成一个直角三角形中两个锐角的三角函数值的计算，落实基础概念，从而达到人人会算的教学目的。

（3）回归生活，知识应用

请同学们各抒己见，怎样测量学校钟楼的高度？

Think About a plan to measure the height of school bell tower？

学生回答：有学生提出可以通过影子的测量，只要选择固定的角度，人的身高和影长的比例与钟楼的高度和影长的比例是相等的;也有学生提出拍一张照片，通过比例尺来测量;也有学生提出其他运用比例的方法测量。

教师总结：同学们的想法都非常好，有的也运用到了我们今天所学的锐角三角函数的新知识，也有的是根据我们日常的生活经验得出的方法。不管用哪种方法，可能大家都能發现数学与我们的生活息息相关。

设置目的：充分体现现行课标中提到的“综合与实践”的内容，学生自主综合运用己有的知识与经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的问题。

（4）课后探究，知识外延

一根1m长的梯子AB斜靠在墙上，移动梯子通过测过BC的长度，讨论夹角α的正弦值的范围是多少？A 1 meter ladder AB leans against the wall， find out the range of sinα， cos α and tan α by doing a research.

设置目的：为之后的锐角三角函数的函数值的范围学习作一些铺垫，是锐角三角函数学习的内涵和外延。

3.教学与反思

从整堂课来看，很好的完成了教学目标，学生参与度非常高。与我国的常规数学课堂还是有所差别，没有难题设置，课程亮点在于尽可能少的给学生提供知识层面的帮助，而在于激发学生对困难的自主应对，通过独立思考、合作探讨等途径自行寻求答案。不仅达到中学教学的三维目标的要求，将基础知识点充分落实，又不拘泥于做题;注重过程与方法，采取小组讨论、合作学习的方式;在数学知识的基础上强调学科的趣味性与价值，注重培养学生的数学核心素养。经过整节课的思维锻炼和语言的运用，学生们在最后的知识运用环节像是用英文做了一场小型的学术报告，漂亮的语言将本节课的知识运用得非常出彩。

展示课二：模拟概率Simulation

1.开课背景

“统计与概率“是与“数与代数”“图形与几何”“综合与实践”并列的四部分内容之一。统计的核心是数据分析，数据是信息的载体，凡是能够承载事物信息的东西都构成数据。1997年，IBM电脑深蓝战胜了世界象棋冠军卡斯帕洛夫，不到20年的时间，2016年3月，AlfaGo成为第一个击败人类职业围棋选手、第一个战胜围棋世界冠军的人工智能机器人。机器在不断将人类的智能拓宽到新的边界，我们学生未来的面对的是人工智能大数据的时代，对数据分析管理会成为一种核心竞争力。图形计算器作为一种手持技术己得到国际及国内数学教育界普遍的关注，并和计算机、网络一起成为推动教育改革和教育信息化的主要力量。在美国及其他国家，计算器在数学等理科教学与考试中运用也十分普及。这堂课便是借助图形计算器完成对概率实验的模拟。

2.教学目标

（1）在概率定义的基础上，通过具体试验进一步解释概率的含义，理解理论概率（theoretical probability）和试验概率（experimental probability）的区别;

（2）应用图形计算器设计不同事件的模拟（simulation）方法。

3.数学词汇

theoretical probability理论概率 experimental probability

outcome 结果  equally likely outcome event等可能事件

mathematical modeling 数学建模

4.教学基本流程

5.教学设计

（1）创设情境，引出课题

教师提出三个问题：

①Have you or your family members bought lottery ticket？

你和家人有没有买彩票的经历？

②Did you win any money？

你们中过奖么？

③Will you buy again？

你们还会继续买吗？

设计意图：提出问题后，引起学生的思考，引入概率的讨论话题，进入今天课堂学习的概率内容。

教师进一步提问：Since the probability of number side and flower side in a coin flip are both 0.5， then two flips of a fair coin must be number and flower each once. If the probability of getting any side of a die is 1/6， then if you roll the same die six times， you're going to get each side once.

既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为 ，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上;如果抛一枚骰子出现任何一面的概率是 ，那么连续投一个相同的骰子，一定是每面出现一次，你认为这种想法正确吗？

设计意图：通过认知冲突，正确理解两种概率（国内是频率与概率）。

（2）课堂活动，动手试验

Project 1  Flip Coins

Toss a coin 4 times ， record the No. of times you get the flower upside.

Outcomes： Number and flower

连续四次抛掷一枚质地均匀的硬币，记录下得到花面朝上的次数，分组统计各组及全班同学的试验。

设计意图：教师引导学生动手做实验，每个同学、每小组、全班分别计算试验概率，得到试验概率与理论概率进行比较。培养学生根据试验经历，提高总结归纳的能力，教师总结介绍大数定律。

（3）计算机模拟，替代试验

Practice：Use simulation to find the following cases

Q1： Simulate flipping a fair coin once.

模擬投一次质地均匀的硬币可能得到的结果。

Q2： Simulate flipping a fair coin for 10 times.

模拟投质地均匀的硬币十次可能得到的结果。

Q3： Simulate rolling a die.

模拟摇一次骰子可能得到的结果。

Q4： There are 3 red， 1 white balls in a box， simulate getting one from it.

箱子里有三个红球，一个白球，模拟摸出一个球可能得到的结果。

Q5： There are 6 red， 4 white balls in a box， simulate getting two from it.

箱子里有六个红球，四个白球，模拟一次摸出两个球可能得到的结果。

设计意图：采用一些简单的小练习，引导学生应用计算器模拟，掌握基本方法。初步建模，解决问题。

Project 2  Testing

On a multiple-choice test， each item has 4 choices， but only one choice is correct. How can you simulate guessing the answers？ What is the probability that you will pass the test by guessing at least 6 of 10 answers correctly？

一次数学考试中有10道选择题，每题四个选项中正确的答案只有一个，怎么模拟至少能答对6道题的概率？

Enter RandInt（  ，  ，  ） on a graphing calculator. Press Enter to get 10 outcomes. Define 1 as the correct answer.

On your way to work you must pass 3 widely separated traffic lights which operate independently of each other. The probability that you will be stopped at any one of them is 40%. Use simulation to find the probability that you make it work without stopping， stopping once， twice， at all three lights.

你每天上班会经过三个不同的设有红绿灯的路口，每个路口会遇到红灯的概率为40%，怎样模拟得到三个路口都会停，两个路口会停，一个路口会停及三个都不会停的概率？

设计意图：之前学生已经练习过计算机的模拟后，进一步通过课题的形式引导学生自己设计模拟方法。其中课题2还给了一定的模拟提示，到了课题3涉及非等可能事件，逐步让学生自主设计，培养思维能力，建立数学模型，然后模拟计算并与理论值相比较。

（4）概念延伸，总结本质

小结本节课的内容，介绍历史上著名的布丰投针实验，为下节课的求几何概型做些准备。同时提及布朗运动中蕴含着概率的知识，揭示统计在科学世界的重要性。

6.教学与反思

对于高中的双语数学学习，融入国外课程的意义与教学方法与初中又有不同。就模拟概率这一部分内容而言，国内课程要求学生了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率，而课堂实际教学中很难进行模拟的实验。数学核心素养需要通过每一节课的有效学习来实现，本堂课通过手持技术实现了国内外教材的融合，让学生真正体会到了什么是模拟，帮助学生更好的理解以及潜移默化地培养学生的数学应用能力。这一堂课也只是手持技术展示的一小部分，在平时的学习过程中学生一直在接触图形计算器。

四.结语

历史让英语成为世界性语言，研究世界本质的数学也是科学世界的通用语言。本文介绍了本校国际课程在教材的使用和教学教法上的具体做法，通过引入国外教材与国内教材结合相互取长补短，不仅用浅显的语言导入新概念，通俗易懂，逐层深入，而且重视学科间的交叉，利用现实问题进行启发教学。本校的双语教学立足本国初高中教学，旨在让学生打牢根基、学会积累、理解概念原理，培养严谨的数学逻辑思维。同时在思维的训练过程中得到数学和英语的双重经验，双重提升。与此同时，双语教学的进一步目标是不断扩大视野，把握全球中学数学教学研究的新动态，弘扬我国发扬我国优良的数学教学传统，为我国从教育大国迈向教育强国，引领世界的学科教育做贡献。

（作者单位：杭州英特外国语学校）