高中函数“最值”问题的求解策略

吕相红

最值问题是高中数学函数中的关键知识内容.由于传统解题模式下所教授内容散、方法杂，这些都为学生解决最值问题带来了一定困扰，使其成为了高中函数中的一大难点.本文主要以多元化思维为例，深度探讨了函数最值问题的各种求解策略.

一、定义法求解最值问题

利用定义法求解函数最值问题关键在于为函数最值定义.例如，可设置函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M，则需要满足以下条件：第一，对任意x∈I，都有f（x）≤M;第二，存在x0∈I，使得f（x0）=M，则有M为函数y=f（x）的最大值.

假设函数f（x）的定义域为R，下列命题中正确的是：

（1）如果存在一个常数p，使得对任意x∈R存在f（x）≥p，那么p是函数f（x）的最小值.

（2）如果存在x0∈R，使得对任意的x∈R，则有f（x）≥f（x0），则f（x0）是函数f（x）的最小值.

教师要指导学生合理利用定义域求解函数最值问题，其关键还在于帮助学生把握好定义内涵，准确运用函数知识内容，明确函数中是存在值域的，但并不一定存在最值.上述题目可由函数的最小值定义解题，首先（1）应该是假命题，它的条件虽然满足了最小值定义中的任意性要求，但是并不满足存在性要求.因此（1）是错误的.而（2）命题则是正确的，即f（x）≥f（x0）时，则f（x0）应该是函数f（x）的最小值.

二、配方法求解函数最值问题

在求解二次函数最值过程中，如果函数形式为F（x）=af2（x）+bf（x）+c，可以考虑采用配方法.例如，求函數f（x）=9x2+6x+1的最小值.

上式函数最值问题可采用配方法解题，在解题过程中则要注重自变量的取值范围变化以及对称轴与区间之间的相对位置关系.

二、合理利用渗透分类讨论思想，解决函数最值问题

合理利用渗透分类讨论思想也是能够解决某些函数最值问题的，这里要做好概念分类、情况分类，并在分类基础之上由俭入奢，解决某些复杂的函数最值问题.例如，在求解函数y=2-2acosx-sin2x的最大值与最小值过程中，需要先将原函数进行转化.

y=（cosx-a）2+1-a2=（t-a）2+1-a2=f（t）

可将原问题转化为二次函数在某一区间中的最值问题，但实际上这个问题非常复杂，教师可以专门讲二次函数的对称轴与定义域之间的位置关系为学生掰开揉碎进行分类讲解讨论.例如，首先给出函数的对称轴方程应该为：t=a，它的定义域区间应该为[-1，1]，此时可参考二次函数图像分4种情况为学生提出针对性的解题思路.

第一种：如果a<-1，则有ymax=f（1）=2-2a，ymin=f（-1）=2+2a;

第二种：如果-1≤a≤0，则有ymax=f（1）=2-2a，ymin=f（a）=1-a2;

第三种：如果0≤a≤1，则有ymax=f（-1）=2+2a，ymin=f（a）=1-a2.

在上述最值问题解题过程中就渗透了分类讨论思想，它能够帮助学生大量积累数学学习经验，非常有利于培养学生全面思考问题的能力.

三、合理利用函数转化思想，归纳总结函数最值问题内涵

最后要渗透函数思想，分析转化问题，最终将最值问题归结于函数问题，利用函数最值解决问题，帮助学生更好地掌握函数相关思想.教师要注重为学生渗透讲解各种函数思想方法，教会他们合理把握二次函数知识内容，将最值问题转化为二次函数最值问题再进行求解.在一些二元函数的最值问题中如果已知存在两个变量，且两个变量存在相依关系（通常为二元方程），则应该对该类问题合理运用函数转化思想.例如代入消元法就可将二元函数转化为一元函数再进行最值求解.

例如，已知an=n-97n-98（n∈N+），在数列{an}的前30项中，求解最大项与最小项.

该题目中存在数列{an}，同时它的通项公式an可以理解为n的函数式，此时可将原问题理解转化为如果有n∈N+且存在n≤30时，求解函数an的最大值与最小值.此时可以分析其中一种情况，如果n∈N+且10≤n≤30，则an表示减函数，且有an>1，此时a30最小，a10最大.

这道问题中数学函数思想非常明确，且它与最值问题也实现了紧密关联，采用最值问题可分多种情况解决这一函数问题，而像化归、分类讨论以及数形结合等都能解决这一问题.