《种群数量变化》中数学模型的应用

洪学青

【摘要】 《2017年版的普通高中生物学课程标准》指出，学科素养是学科育人价值的集中体现，生物学学科核心素养包括生命观念、科学思维、科学探究和社会责任，其中，科学思维是指尊重事实和证据，崇尚严谨和务实的求知态度，运用科学的思维方法认识事物、解决实际问题的思维习惯和能力。在科学研究中，数学模型是发现问题、解决问题和探索规律的有效途径之一。

【关键词】 数学模型 应用

【中图分类号】 G633.6

【文献标识码】 A

【文章编号】 1992-7711（2020）02-177-020

种群生态学是生态学中最早进行数学描述并成功地运用了数学理论的生物学分支学科，种群数量变化及特征，是直接面对数量的。下面，以《种群数量变化》一节的教学设计为例，谈谈数学模型如何在生物教学中的运用。

一、教材及学情分析

《种群数量变化》是人教版普通高中课程标准实验教科书生物必修3第4章第2节。在前面，学生已学了种群的特征，知道种群密度是种群数量的最基本的特征，出生率、死亡率、迁入率、迁出率直接影响种群密度进而改变种群数量，而外界环境通过影响“四率”最终使种群数量变动，通过建构数学模型，可以来描述、解释、预测种群数量变化的规律。高二的学生，已有一定的数学基础，有一定的逻辑推理、求解和运算能力，引导学生用数学的方法解释生命现象，揭示生命活动规律是本节教学策略的着眼点

二、教学目标

1.学生通过合作探究细菌数量变化，能够尝试建构种群增长的数学模型并描述变化的规律

2.通过数学建模，学生能够说明建构种群增长模型的方法

3.通过对模型的不断修正，学生初步形成尊重事实和证据，严谨和务实的求知态度

4.通过分析“J”型和“S”型曲线，学生能够阐述种群数量增长的种类、成因及特点

5.通过运用数学模型对种群数量变化的预测，学生能对生产生活问题作出理性的解释和判断，进而关注人类活动对种群数量变化的影响

三、教学重点和难点

尝试建构种群增长的数学模型，并据此描述、解释和预测种群数量的变化

四、教学方法：数学建模方法、导学法、探究法

五、教学过程：

1.创设情境导入

1.1案例：展示PPT图片——水葫芦泛滥成灾的场面及华南虎的濒危的现象

1.2问题：为什么有的种群数量在增加，有的种群数量在锐减？种群的数量变化有没有规律？如何才能探寻种群数量的规律？

2.尝试建立种群数量变化规律的数学模型

2.1模型准备：播放菌落生长的视频及模拟一个细菌繁殖的动画，引导学生观察并思考：细菌的数量变化有何规律？

2.2模型的假设：

2.2.1在资源和空间无限多的环境中，细菌种群的增长不会受种群密度增加的影响

2.2.2细菌种群的起始数量为N1（1）个

2.2.3细菌，在适宜的温度，湿度等条件下，每20分钟可繁殖一代。

2.3问题的提出：t代后细菌的数量N为多少？

2.4.模型建构：学生以4人为一组，小组合作探究：

2.4.1计算每一代细菌数量，并填写表格

2.4.2根据表格的数据，尝试用数学公式表示t代

后細菌的数量Nt=                                   .

2.4.3根据表格中的数据，尝试在图一坐标图（图一）

上绘制出细菌种群数量随时间变化的曲线

2.4.4、请说说构建数学模型有哪些步骤？

2.5、对细菌种群变化的数学模型进行修正

2.5.1、第一次修正：

※、假设——细菌实际种群中，起点数不是一个，而是有多个（N0>1）时，以上公式应修正为：                               .

2.5.2、第二次修正：

※、假设——该细菌种群的增长率为100%，以上公式若要用增长率表示，应修正为：                               .

2.5.3第三次修正：

※、假设——其他生物种群的增长率不是100%，而是a时，那么以上公式又修正为：                               .

2.5.4第四次修正：

由于种群增长率a=出生率-死亡率，所以，a值有两种可能：不变（理想状态）或改变（自然情况）。以N，=N。（1+a）为基础，再次进行修正，实现数学模型的转换。

※、假设——在食物和空间条件充裕、气候适宜、没有敌害等理想条件下，种群的增长率不会受种群密度增加的影响。

※、那么种群增长率a值不变，请你尝试用数学公式表示下列问题：

（1）种群数量以一定倍数（λ）增长，第二年是第一年的λ=                          .倍。

（2）一年后该种群的数量应为N1=                （3）两年后该种群的数量应为N2=                =                （4）t年后该种群的数量应为Nt=

※、请你尝试在图二绘制出种群数量随时间变化的曲线

※、请你根据图二曲线，描述该种群的数量变化规律

※、请你谈谈“J”型增长的形成原因、特点

2.5.5第五次修正：

※、假设——在气候、食物、天敌、传染病以及受人类活动的影响等条件下，出生率和死亡率在不断地变化，种群的增長受种群密度增加的影响。

※、那么，种群增长率a值也不断地变化，请分析讨论以下情形：

（1）当a>0，λ虽然不断变小，但还是λ            1（填>、<或=），种群数量

（2）当a=0、λ            1（填>、<或=），种群数量            ，达到最大值（k值）

※、请你尝试在图二上绘制出a值改变时的种群数量随时间变化的曲线

※、结合绘制的曲线，请你描述该种群的数量变化规律

※、请你谈谈“S”型增长的形成原因、特点

※、结合绘制的曲线，谈谈同一时间上，为何“S”型增长曲线上的种群数量比“J”型增长曲线上的少？

2.5.6第六次修正

※、假设——食物和空间条有限、在气候、食物、天敌、传染病等外界影响的条件下，种群的增长受种群密度增加的影响。

（3）当种群增长率a<0、λ            1（填>、<或=）时，种群数量            .

※、请你尝试在继续图二上绘制出a值改变时的种群数量随时间变化的曲线

※、结合绘制的曲线，请你描述该种群的数量变化规律

※、请你谈谈该曲线形成的直接原因与根本原因

2.5.7小结

※、种群数量变化的类型有增长、波动、下降、消亡

※、引起种群数量变化的外因有：气候、食物、疾病、天敌等自然因素和人类活动的影响

※、引起种群数量变化的内因是：出生率、死亡率、迁出率、迁入率的变化

3.1填出种群数量增长的“J”型增长曲线和“S”型增长曲线的比较表

3.2“S”型增长曲线中，K值的成因是什么？同一种群的K值是固定不变的吗？理由是？

3.3、“S”型增长曲线中，何时的增长速率最大？

4.种群数量变化的数学模型的运用

4.1请你运用“J”型增长曲线解释水葫芦泛滥的原因

4.2渔民经常被这样的问题所困扰：不捕捞或者捕捞很少，鱼类资源得不到充分利用，捕捞过多，又会造成鱼类资源的枯竭，那应当捕捞多少才合适呢？什么时候捕捞才是最好的呢？

4.3牧民在承包的草场上该放养多少头羊，既能保护草原，又能取得最好经济效益？

4.4从K值角度思考，请你谈谈保护大熊猫的措施有哪些？

4.5在害虫种群密度达到多少时喷洒农药，既能减少环境污染，又能防止虫灾发生？

4.6运用“S”型曲线，请你谈谈如何对家鼠进行有效控制。

6.教学反思

本节循着现象→本质→现象的思路，通过分析问题→探究数学规律→解决实际问题→建构数学模型的方法，让学生体验到由具体到抽象的思维转化，有利于培养学生透过现象揭示本质的洞察力，同时，通过科学与数学的整合，有利于培养学生简约、严密的思维品质。

教学中紧扣数学模型的描述、解释、预测的功能，引导学生运用数学模型解决实际问题，既让学生认同学科间的联系，又培养学生解决生产生活问题的担当和能力。

再者，教学中，通过对数学模型的不断的修正，使学生体悟到合理提出假设是数学模型成立的前提，假设不同所建立的数学模型也不相同，学生初步形成尊重事实和证据，严谨和务实的求知态度，有利于学生严谨的科学思维的发展。

在教学中也发现，高二学生虽然具备了一定的数学知识，但在模型的不断修正中仍感觉有些困难，特别是对于增长率与增长倍数的转换，教师应从出生率与死亡率入手进行引导。