基于发展“数学抽象”素养的教学

施俊源

摘 要：为了学生能更好地从数学角度去形成概念、方法与体系，高度概括与认识数学的本质，能逐渐养成一般性思考问题的习惯，能在相关学科的学习中主动运用数学抽象的思维方式解决问题。在平时的课堂中就需要用数学眼光去观察，用数学思维去分析，用数学语言去表达。

关键词： 数学抽象 数学思维 数学角度

一、实例——数学抽象能力的前提

数学抽象的实现过程是一系列比较和区分、舍弃和收括的思维操作过程。函数单调性首先从函数图像上直观感受它，并用自然语言加工经历第一次数学抽象过程。

问题1：请同学画出下面两组函数在相应区间[1，2]上的图像，然后指出每一组在性质上的共同点是什么？第一组：，;第二组，;

生：第一组图像呈现一个上升的形式，第二组图像呈现一个下降的形式。

师：我们可以思考怎么样用y与x之间存在的变化关系去描述图像的这一特征呢？

生：第一组图像中y随着x的增大而增大，第二组图像中y随着x的增大而减小。

设计意图：给出若干函数的图像，从一系列的比较和区分开始，在思维中比较出每组图像的共同特征用自己的语言表达出来，同时两组之间不同的特征也进行区分，形成一个表达概念的词，完成一个初步的抽象过程。

问题2：怎么把“在区间上，函数随着x的增大而增大”用数学符号语言表示？

师：同学们的身高在每年都会发生变化，我们在现实生活中是怎么量化这种变化的呢？如果身高变高了一般怎么发现？

生：体检的时测量身高的时候就会知道，今年的身高减去去年的身高，如果大于零就可以代表长高了。

师：那么x的增大可以怎么表示，我们用可以用，，来表示吗？

生：用第二x个减去第一个x大于零表示。

师：很好，那么现在请大家思考，如何表示函数随着x的增大而增大？

生：如果时，。

师：那我们试着来用集合语言来描述“，在区间[a，b]上”，并且完整的描述“在区间[a，b]上，函数f（x）随着x的增大而增大。”

生：，“若，时，”。

设计意图：通过教师启发引导，让学生体会随着x的增大就是自变量发生了变化，从而引出用任意的两个自变量，来表示。同理，学生也可以自然而然地想到用和来表示

增大。

二、反例——数学逻辑严密的保证

在第一次，第二次的抽象中把重點放在初步描述单调性，即和x之间的变化关系上，但是对于定义中部分严密性的认识存在不足。因此还需要对定义中部分的名词作一个更为深刻地理解。

生：还是用前面那个函数图像，上有无数对，

使得，都有，但是不能说在

（0，2）上是增函数。

师：这无数多对是怎么取出来的？

生：这无穷多对可以全部从区间（1，2）中取出，但是函数在区间（0，2）上是既有单调递减的部分，也有单调递增的部分。

师：现在让我再仔细来看看增函数的定义“如果对于定义域I内某个区间D上的任意（重音）两个自变量的值，，当，都有，那么就说在区间D上是增函数。”能观察到哪一个哪一个重要的词？

设计意图：在对单调性概念的有一定的理解后，再利用反例帮助学生更深刻地理解概中出现的一些关键词，完善对单调性概念的一个严密的定义。

有一些知识是比较相接近的或者是密切联系的，学生在学习的过程当中往往容易混淆，反例可以有效地加深学生对概念的认识.同时，锻炼学生的发散思维能力，将所学的知识点呈线性展开，并且构建整体框架。

三、对教学中实践“数学抽象”形成的反思

本节课有梯度地从具体到抽象引导学生逐渐地完善数学抽象概念——单调性概念——训练提高他们的思维水平。在抽象化过程中，利用反例完善概念的理解，拓展学生的逻辑严谨性。数学抽象形成过程中可以帮助学生体会数学知识之间的关系，理解数学知识中层次性与构建知识中所体现的结构规律，这就是数学思维的训练。

任何一个抽象概念都不是一蹴而就，教学中我们要习惯整理借用已有的知识背景，通过设计有序展示在课堂中。在过程设定初步抽象，第二次抽象所要完成的教学目标，帮助学生理解掌握数学概念的内涵以及在形成数学抽象过程中需要具备的能力。最终通过学习不同数学概念，进而加深个部分知识潜在联系。高中函数是初中函数的深化，形成一个整体概念。

从一般事物通过观察，分析，归纳，猜想，验证，得出结论的这种思维方式是人们认识规律的体现，而在数学概念形成中更能够充分的体现这一过程。要数学抽象的形成让学生意识到学习数学不仅仅是学习知识，更是一种学习与认知世界的一种方法。

参考文献

[1]庄志刚.对高中数学核心素养与教学设计的思考[J].高中数学教与学2017（8）：37-40.

[2]王萍.聚焦核心素养追寻数学本质——浅谈如何锤炼学生的数学思维[J].陕西教育2016（12）：46-47.