合数模上Hardy和的均值

岳霞霞

山西工程技术学院基础部，山西 阳泉，045000

其中表示对同时满足pα|q与 pα+1⫮q的所有素数p求积,为任意小的正数.

0 引言

DirichletL-函数[2]与Hardy和是数论研究的核心内容之一.近年来,一些学者对此开展了全方位而多层次的研究,取得了丰硕的理论成果.

徐哲峰与张文鹏[3]研究了当k=p为素数的情形下,短区间上 Hardy和的均值,并得到了命题.

在文献[4]中,Liu W用类似的方法得到下面渐近公式.

命题2 设p≥5为素数,则

Wang X[5]推广了素数模上 Hardy 和的均值性质,得到如下结论.

命题3 设q≥5为奇数,则有

本文利用特征的基本性质，在命题2 和命题3的基础上，将进一步研究合数模上Hardy 和的均值,其主要结果如下.

定理1 设q≥5为奇数且3⫮q,则有

本文的第1节给出了相应的Dirichlet 级数的恒等式，在第2节中将Hardy 和转化为DirichletL-函数，并计算的DirichletL-函数的均值,最后估计Hardy和的均值，给出定理1 的证明.

1 关于Dirichlet 级数的恒等式

证明 由于r(n)是可乘函数，可得

根据Euler 乘积公式,有

2 Dirichlet-函数的均值

定理3 设d为奇数,且m|d,k为给定的正整数,则

因此有

∶=M1+M2+M3+M4

(1)

由分拆恒等式,可得

(2)

同理可得

(3)

利用 Cauchy 不等式,有

(4)

结合公式(1)～公式(4) 可得

(5)

设gcd(a,m)=1，根据文献[7]有

从而

∶=M11-M12

(6)

由于r(n)<

M12<

(7)

现在计算M11.对n1和n2的求和式分成如下四种情况进行讨论:

不难证明

(8)

(9)

与

(10)

结合公式 (5)～公式(10) ，取N=m3,可得

3 Hardy和的均值

利用特征和的 Fourier 展式[8]，有

由文献[9，10]及文献[11～13]，可得

因而