例谈小学生推理能力的培养

韦仕强 李织兰 梁今琪

【摘要】本文以教学人教版数学四年级下册“三角形三边关系”为例，论述在小学数学教学中培养学生推理能力的途径，认为教师应准确理解教材编写意图，利用“直言三段论”推理规则引导学生推出“三角形两边之和大于第三边”，利用“完全归纳”推理规则强调“三角形的任意两边之和大于第三边”，依据“假言拒取”推理规则和“反证法”理性地判断三条线段能否摆成三角形，向学生渗透理性思维。

【关键词】小学数学 三角形 理性精神 推理能力

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2020）29-0121-03

多数教师在教学人教版数学四年级下册“三角形任意两边之和大于第三边”时，直接引导学生通过实验归纳出结论，没有将这部分内容的学习与学生前面所学的“两点间所有连线中线段最短”联系起来。这是教师没有理解教材编写意图以及知识点之间的逻辑关系的体现。《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出：要让学生在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法。基于此，我们在教学中以“两点间所有连线中线段最短”为前提，利用“直言三段论”推理规则推出“三角形两边之和大于第三边”，然后利用“完全归纳”推理规则强调“任意两边之和大于第三边”，依据“假言拒取”推理规则和“反证法”理性地判断三条线段能否摆成三角形，培养学生的推理能力，发展学生的理性思维，启蒙学生的理性精神。这样教学取得了较好的效果，笔者现将教学片段分享如下。

一、实验导入，提出问题

师：同学们回忆一下，什么是三角形？

生：由三条线段围成的图形叫作三角形。

（教师运用课件演示并强调：每相邻两条线段的端点相连）

师：如果给你3条线段（用小棒代替），你能围一个三角形吗？谁来试一试？

（生1上台尝试）

师：他围成了吗？

生（齐声）：围成了。

师：请你说一说围三角形的时候要注意什么。

生1（示范用小棒围三角形的过程）：一根连着一根，要做到首尾相连。

师（展示课本内容，如图1）：用剪出的4组纸条摆三角形，有些能摆成，有些不能摆成，说明三角形三边之间一定有一些奥秘。今天我们就来探究三角形三边之间的关系。

设计意图：细节决定成败，规范的操作才有助于学生自主发现问题。教师让学生展示围三角形的要点、细节，有助于学生养成严谨的学习习惯，为接下来的探究活动做好示范。

二、归纳猜想，发现规律

学生同桌两人组成学习小组拿出课前剪好的纸条摆一摆，计算后填写下表：

表1

教师设问：“比较表格中的内容，我们能发现什么规律？”接着引导学生归纳总结得出：“三角形的任意两边之和大于第三边，有某两边之和不大于第三边的图形就不是三角形。”同时向学生强调“任意”。

师：我们可以多画几个三角形，看看是不是所有的三角形都有“任意两边之和大于第三边”的特征。（板书：所有三角形任意两边之和大于第三边？）

师（展示学生画好的两个锐角三角形，提問）：这两个三角形是同类三角形吗？三角形按角的大小怎样分类？有谁画的三角形和他们两人画的不一样？

生1：我画的是直角三角形，他画的是锐角三角形。

生2：我画的是钝角三角形。

师：同学们画出了锐角三角形、直角三角形及钝角三角形，真厉害。

（学生画好后测量，然后填写表格，根据表格总结规律）

表2 比较三角形三边长度的关系

设计意图：学生经历动手操作的过程，在实验中发现并提出问题，既培养学生的合情推理能力，又唤起学生强烈的用理性的方法探究“三角形三边之间的关系”的欲望。

三、演绎推理，逻辑论证

师：我们能肯定“三角形任意两边之和大于第三边”对所有的三角形都一定成立了吗？我们是否可以把原来写的问号擦掉了？

（学生争论，有的说可以，有的说不可以）

生1：不可以！验证的三角形越多，结论就更可靠，但不是一定可靠。

生2：不可以！三角形有无穷多个，不能一个一个地验证它们三边的关系，没验证完就不能肯定。

师：观察归纳和实验归纳是发现规律的好方法，但是它不能确定发现的结论一定是对的。要得出一个可靠的结论，还必须经过严格的推理论证，也就是我们常说的“说理”。

师：看看我们平时在生活中是如何说理的。

例1：因为所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电。

例2：所有的小学生都不用交学费，小明是小学生，所以小明不用交学费。

师：上节课我们学习过“A与C两点之间所有连线中线段AC最短”，换句话说，A与C两点之间所有连线都比线段AC长。

师：观察三角形ABC，边AB和BC构成了A与C两点之间的一条连线，比较一下，AB+BC与线段AC的长短，并类比刚才的“说理”方法讲一讲道理。

生1：我看出来了，AB+BC>AC。这是因为A与C两点之间所有连线都比线段AC长，AB和BC两条边构成了A与C两点之间的一条连线，所以连线AB+BC的长大于线段AC的长，即a+c>b。

设计意图：依据两点间所有连线中线段最短这个前提，用三段论的推理规则推出三角形两边之和大于第三边，渗透演绎推理的数学思想。

师：请同学们分组讨论，在一个三角形中任意取两条边，有多少种情况？

生：①AB，BC;②BC，AC;③AB，AC。

师：请同学们判断“BC+AC>AB”“AB+AC>BC”是否是正确的？说明理由。

（学生表述，教师评价）

师：我们对任意的三角形完全枚举了所有的“两边”的三种情况，“两边之和都大于第三边”，现在我们可以肯定地说，所有的三角形任意两边之和大于第三边。

设计意图：师生运用完全归纳的推理规则强调三角形任意两边之和大于第三边。

四、正难则反，理性判断

师：我们来看看刚才4组线段能否围成三角形的结果，有些能围成，有些不能围成。这是我们做实验得到的，大家也能说说其中的道理吗？

表3

生1：第一组三条线段6、7、8可以围成三角形。（展示围三角形的过程和围成的三角形）能围成的理由很明显，因为我围成了一个三角形，大家也看到了。

生2：第三组三条线段3、6、10不能围成三角形。

师：不能围成？怎么让我相信你的结论呢？

生2：老师，我们试过了，就是不行。

师：哦！看来我们班的同学都不能把这组的线段围三角形，那么我们是不是就可以肯定地说，这三条线段一定不能围成三角形？

生（齐声）：可以这么说。

师：确定吗？

生（齐声）：确定。

师：你们围不成，万一别人，比如说数学高手能围成呢？

（学生面面相觑）

师：如果三条线段能摆成三角形，它们就是三角形的三条边;如果它们是三角形的三条边，则任意两边之和要大于第三边。反过来，如果发现有两条线段之和不大于第三条线段，那么它们一定不是三角形的三边，因此不能围成三角形。因为3加6不大于10，所以三条线段3、6、10不能围成三角形，即使是世界上最厉害的数学家也不能做到。

设计意图：教师向学生滲透“反证法”思维，理性地判断三条线段能否围成三角形，让学生感悟到理性的力量。

“三角形三边之间的关系”这节课是在学生初步掌握了三角形的特性之后对三角形边的关系的研究，是在学生已经掌握“两点间所有连线中线段最短”的基础上进行教学的。本节课以实验导入，引导学生“由做到思”，采用“发现规律—检验验证—说理论证”的路径进行教学，通过“观察归纳”和“实验归纳”发现“三角形任意两边之和大于第三边”这一数学结论;再让学生任意画不同类型的三角形检验结论，使学生更相信结论;最后以“两点间所有连线中线段最短”为起点，推出“三角形任意两边之和大于第三边”，确保结论的正确性。学生经历了探索规律的全过程，发展了推理能力，启蒙了理性精神。判断三条线段能否围成三角形是本节课的重要内容，“正难则反”渗透“反证法”，学生理性地判断三条线段能否围成三角形，感悟到理性的力量。

注：本文系桂林师范高等专科学校第一批“课程思政”教育教学改革示范课程“高等数学与小学数学理论基础”（JG201910）的研究成果。

作者简介：韦仕强（1971— ），壮族，广西贺州人，教育硕士，高级教师，研究方向为数学教学研究和行政管理;李织兰（1967— ），女，广西百色人，副研究馆员，研究方向为教育管理、数学教学、图书馆学;梁今琪（1995— ），女，广西凤山人，南宁师范大学在读生。

（责编 刘小瑗）