思维留痕，于过程中看学生的“数学思考”水平

费岭峰

【摘要】过程视角测评是在教育质量综合评价改革背景下产生的对学生学业水平监测的一种新视角。过程视角测评题，因考查学生在“数学思考、问题解决以及情感态度”等方面的达成情况，使测评既知结果，又了解过程;既知思维状况，又能区分能力差异。实践中，基于不同的过程目标有解答式、说理式、追问式与究思式等几种形式。

【关键词】小学数学 过程视角 数学思考 试题命制

一、从结果看思维的局限——由一道测试题说起

如下图，这是一道人教版数学四年级上册配套的期末测试卷中的填空题。考查的是学生对本册教材第六单元“除数是两位数的除法”中“商不变规律”的理解与掌握状况。我们知道，填空题一般是从“结果”来评判学生对知识的掌握状况，评改时较为容易，却较难了解学生在解答问题时的思维过程与认知差异。

检测后，一位教师针对本题学生的答题情况做了统计：共68人参与本次检测，其中正确人数为31人，正确率45.6%。这看似一道简单的习题，居然有37人做错，表明超过半数的学生对于这一知识内容的理解还存在问题。当时，笔者对此结果也表示疑惑，于是请这位教师了解了一下其他班的情况，正确率居然更低。这样的结果还是颇出乎意料的。笔者后又与出题教师进行了交流，他也有同样的感觉，比预想的正确率低了不少。

我们先来看概念内涵，“商不变规律”的核心是“被除数和除数同时乘（或除以）一个相同的数，商不变”。当学生学习了“商不变规律”之后再解决以上习题，其能力水平应该能达到“从左边除法算式中的被除数300、除数11到右边除法算式中的被除数600、除数22，正好都是乘以2得到”的水平，即符合“商不變规律”中的“被除数和除数同时乘一个相同的数”的前提，所以结论应该是“相等”。

但从测评结果来看，错误率相当高，又因为本题为填空题，也就是我们以往说的客观题，学生在答题时也只给出了一个或“>”、或“<”、或“=”的结果，缺少在解答此题时思维的表现过程。这无疑给教师了解学生对“商不变规律”的理解水平带来了困难。

另外，对于填了“=”的学生的思维状况，我们也是缺乏了解的。通过访谈，我们了解到，在解答正确的学生中，同样有两种不同的思考过程：一种是不计算，直接以“商不变规律”对结果做出判定，这当然是在准确理解“商不变规律”基础上的技能运用，在思维层面上达到了“能够抓住本质，准确运用规律”的水平。还有一种是算出左右两边除法的商，因为都等于“27”，不考虑余数，判定结果相等。这种思考方式，与上一种相比，至少在对“商不变规律”的理解上还是存在着差异的，几乎是回到了“商不变规律”知识学习前的水平，而且这样的判别缺乏严谨性，理由是不充分的（当然对于四年级学生要理解到余数也是影响到算式是否相等的因素，还是有难度的），属于典型的“知识的应用”能力不够高的。事实上，教师因为对于学生的思维过程缺少了解，后续在“商不变规律”的补救教学上仍然缺少针对性。这也就是我们经常碰到的仅仅通过结果看思维的局限，也是客观题测评的局限。

二、过程视角测评题在考查学生“数学思考”水平中的优势

所谓过程视角，是与结果视角相对而言的，即从过程角度来看学生解决问题的表现状况，可以较全面、准确地反映对象的情况。学生在解题时的过程视角一般包含两个层面：一是显性层面的解答过程;二是隐性层面的思考过程。两者有时是一致的，有时不完全一致。小学数学监测中设计过程视角的测评题，意在从过程角度全面、准确地检测小学生通过数学学习后的知识技能、基本活动经验或数学思想方法的习得与形成水平，考查学生在数学思考、问题解决以及情感态度等方面的达成情况，是一种突出过程、侧重于能力水平和素养水平的测评习题或任务，在实践中体现出两个方面的意义。

（一）过程视角测评题，使测评既知结果，又了解过程

这也是过程视角测评题的基本特点。因此，在设计时，需要对学生提出展示思维过程的要求，同时也需要留给学生展示思维过程的空间。

比如在学生学习了小数的乘除运算之后，请学生计算4.8×3.1与42÷2.8这样的习题。作为了解学生基本算法是否掌握的考查，只要让学生自主计算即可。但如果我们将监测目标定位在“了解学生是否具有根据数据特点，灵活选择合理算法的能力”时，则需要提出类似于“不列竖式，你会怎样计算出它们的结果呢？请将你的思考过程写在下面”的答题要求。两个要求：一个指向于数据特征分析基础上灵活运算的能力测评;另一个需要展示过程，有利于了解学生对知识的理解与掌握状况，以及思考过程与思维水平，即我们会了解到“学生到底是怎样想的” 这一过程。

（二）过程视角测评题，使评价既能关注思维状况，又能关注能力差异

这也是过程视角测评题相对于结果视角测评题的优势。我们知道，结果视角测评题更多以唯一结果来判定学习者的学习水平，不能了解到被测者间的个性差异，这对于分析被测者的思维状态不利。而过程视角测评题，因为有被测者的解答过程，便能从显性层面的过程表现去分析他们的隐性思维、能力水平，发现不同对象的思维习惯，甚至于高阶思维水平，还能有利于把握被测者在知识理解与掌握中的缺陷，为后续学习的改进提供支持。

如本文开头提到的习题，若设计成“结果+说理”式的过程测评题，便能从说理中发展学生不同的思考过程，从而了解学生对“商不变性质”从“理解”到“应用”间的水平差距。

三、考查学生“数学思考”水平的过程视角测评题的形式

学生的“数学思考”水平更多的是反映在习题解答或问题解决的过程方法中，表现为思路是否清晰、方法是否合理巧妙以及结论是否正确。过程视角测评题正是突出过程的考查，从而了解学生的“数学思考”及素养水平。实践中一般有以下几种形式。

（一）解答式

解答式测评题是比较常用的过程视角测评题，一般在考查学生解题技能时采用。比如针对“两位数乘两位数” “除数是两位数的除法”等运算技能掌握情况考查时，便可以直接采用计算题，由学生直接计算完成，然后根据学生的计算过程，看学生相关运算方法的掌握水平。当然，有时可以改变要求，调整测评目标。

比如前文谈到的请学生计算4.8×3.1与42÷2.8时，提出了“不列竖式你会如何算？”这样的解答要求，便是指向于对学生“根据数据特点，灵活选择恰当算法”的能力水平的考查，并通过学生解答的过程看其水平差异。

从测评结果可以发现，有些学生在有了“不允许列竖式”的要求后，便不知道该如何计算此类习题了，还有些学生则直接写上得数，当然也会有学生应用“乘法分配律”或“商的变化规律”等知识进行计算。如以下的解答：

4.8×3.1=4.8×（3+0.1）=4.8×3+4.8×0.1=14.4+0.48

=14.88和4.8×3.1=（5-0.2）×3.1=5×3.1-0.2×3.1

=15.5-0.62=14.88

42÷2.8=420÷28=420÷7÷4=60÷4=15

以上解答过程，较之前面“不知道该怎样算”与“直接写出得数”的学生来说，已经表现出了高一层次的数学思考水平了。而且有了解答过程的呈现，学生的思维差异也真切地展示了出来，有利于教师准确把握学情，反思运算律教学的效果，改进此类内容的教学过程。

（二）说理式

说理式测评题是过程视角测评题命制中的典型题型，一般表现为请被测者针对某个问题或知识点采用“画图”或“写文字”的方式来阐述自己的想法、理由。其最大的特点是追“究”深“探”，即在考查学生对基础知识的掌握状况的同时，采用追问或直接设问的方式，考查学生对知识“所以然”的理解水平或学习方法的迁移水平。

比如，以往考查学生对“分数意义”的理解，一般以“表示把单位‘1平均分成（）份，表示这样的（）”，或者设计成“把一根2米长的绳子平均剪成5段，每段是这根绳子的（），3段是这根绳子的（）。”或者再问“每段长（）米。”这样的形式。我们说，此类习题因为只有结果，而无法看出学生的认知差异。以下我们是从过程视角设计的考查学生“分数意义”理解水平的测评题：

女生人数是男生人数的。请用画图或写文字的方式表示出的意思。

此题考查的是学生对分数、假分数意义的理解水平，教师可以根据学生的答题情况，全面了解学生对分数概念的理解水平，同时发现学生的认识差异，为后续进行针对性指导做准备。

关于学生学习方法迁移水平的考查，则如我们在四年级下册“运算定律”单元学习之后的测评卷中设计的测评题：

a-（b-c）和a-b+c相等吗？请用学过的方法加以说明。

本题的测评意图就是通过观察学生在解释规律成立的过程中，看学生在学习了一个单元的“规律认识与探索”之后，对数学规律探索方法的迁移与应用水平。显然，这样的测评题既着眼于过程，又着眼于能力。

（三）追问式

追问式测评，顾名思义是在学生回答出结果后，加以追问以了解学生得出某个结论的想法，以便做出精准分析。追问式过程视角测评题一般在采用客观题测评后，追加一个（或一组）问题或要求。比如，在学生学习了公顷与平方千米的知识之后，请学生完成下面习题：

下面哪个场所的面积大约是1公顷？（）

A.学校篮球场              B.我们班教室

C.学校运动场              D.某地区的面积

我是这样想的：                                                           。

这原本是一道典型的客观题，学生只要选出某个答案即可，但因为跟进了一个要求“我是这样想的”，其实就是想让學生表达自己的想法。实际测试后，答案选择正确的学生在表述想法时，有的是从“1公顷”的描述性定义出发去分析以上四个场所的;有的则是根据自己积累的“1公顷量感的经验”采用排除法做出判断的;还有的说不清楚或无法表达。于是，我们通过学生的想法，就能更准确地了解学生在“1公顷”面积建构时的不同思考水平。

如同这样的测评题设计，在日常的检测中还会以“为什么？”“你是怎样想的？”“请说明理由。”等方式呈现，这些要求都属于追问式的测评。

（四）究思式

新课程背景下，学生学业评价内容变得更为开放，测评目标也变得更为多元，于是打破传统测评题的命制思路，创新过程视角测评题命制形式，是一种必然要求。究思式测评题便是一种有新意的测评题设计尝试。所谓究思式测评题，即考查目标直接指向于数学思考的测评题设计。比如以下两道考查学生问题解决能力的习题：

（1）一般住宅楼层高2.8米。为了保证住户有充足的阳光，要求楼与楼之间的距离是整幢楼高的1.2倍。现有两幢6层高的楼，请根据以上信息，画一幅示意图，并标上相应的数据。

（2）右图是一个不规则图形。要知道这个图形的面积，一般分几步？请写出你的思考过程。（不必计算）

以上两题，均在考查学生问题解决的能力，但与以往的问题解答不同的是，这两题并没有要求学生通过解答求得结果，而是重在关注学生“问题解决”中对信息的解读与问题解决计划能力的考查，在测评视角上有一定的创新性。

在实际的检测中，学生的解答过程也能清晰地反映出不同的思维水平。如第（1）问中，以下三位学生的图示体现了三个层次的信息解读水平。

这三位学生的答案，显然第一位的分析能力最强，第二位次之，第三位最弱。第一位学生在描述信息间的关系时，无论是数据与图示中的物体间的距离，都是相对比较准确的;第二位数据信息的理解是准确的，但图示比例不当;第三位则有的信息的解读是错误的。

总之，过程视角的测评题是基于新课程理念下的教育质量综合评价探索的产物，是着眼于学生学习素养的，以“思维留痕”的方式便于对学生的数学思考水平做出准确判断的重要手段。实践中除了上文谈到了四种形式之外，肯定还有许多的方式有待一线教师做进一步探索。

注：本文系2018年度浙江省教研系统规划重点课题“过程视角的小学数学测评题命制与运用研究”（项目编号：Z18018）。