挖掘数学之“源”，还原文化之“元”——“脚印的面积有多大”教学实践与思考

□斯瑶

【案例背景】

人教版五年级上册将“测量不规则图形的面积”编排于“多边形的面积”单元之后，以测量树叶的面积为例，引导学生通过数格子、看成近似的规则图形，估算其面积。然而在教学中笔者发现，这两种方法对学生而言并非难事。那么如何挖掘本节课的内在价值？综观教材知识结构，多边形面积→不规则图形面积→圆面积，是否可以以数学文化的视角，以数学史料为载体，以数学思想为核心，建立知识间的有效衔接？基于这样的思考，笔者设计了《脚印的面积有多大》一课，拟定了新的教学目标。

【案例展开】

（一）情境导入，任务驱动

情境引入：在柯南和朋友们的一次聚会中发生了失窃事件，雪地里留下了案犯清晰的脚印，根据脚印你可以知道什么？和你们想的一样，生活中公安人员在刑侦调查的过程中就是依据脚印的大小、深度等等来推断罪犯的体型。今天我们就来探究脚印的大小。

（二）小组合作，掌握估算方法

出示实际大小的脚印纸片。

1.提出问题：你能否精确测量出脚印的面积？有困难，为什么？

2.那就请大家先估一估大概有多大。

3.交流方法：怎样才能更精确地测量脚印的面积？

预设1：数格子（数格子课件演示，不提供方格纸）。

预设2：分成学过的图形。

预设3：补成一个长方形，再去掉空白部分。

4.小组合作计算脚印面积，将计算结果写在黑板上。

5.方法反馈。

（1）为什么你们要分割成这些图形？

（2）为什么要分成那么多个图形？

（3）求不规则图形可以用数格子、割、补的方法解决，它们有什么共同点？

6.小结：要想计算不规则图形的面积，我们可以利用化曲为直的方法，将不规则图形转化为规则图形。

（三）逐次逼近，体会极限思想

1.比较小组计算结果与脚印实际面积，哪个小组更精确？原因何在？

2.电脑软件是通过什么方法算得那么精确的呢？

师：我们就取脚印边缘的一小格来研究（如图1）。假设我们一直细分下去，长方形越来越窄，个数越来越多，齿轮状越来越接近这条曲线，那么这些小长方形的面积总和也就逐步逼近这个不规则图形的面积。电脑软件就是通过化曲为直、逐步逼近的方式计算出脚印的面积的。

3.课件演示化曲为直、逐步逼近，完善割、补的方法（如图2）。

图2

4.小结：分的份数越多，弯曲的边线就越接近线段，面积就越精确。掌握了这种方法，我们就能尽可能精确地计算出任何不规则图形的面积。

（四）沟通联系，感悟数学文化

1.提问：你会用逐步逼近的办法求圆的面积吗？想一想，画一画，折一折，不计算。

2.学生方法反馈。

生：我将圆形的边变成直线后，分割成了9个三角形（如图3）。

生：可以将圆分成更多个三角形（如图4）。

有学生窃窃私语：那不得算死？

生：只要算一个三角形就可以了。将这个圆对折4次后，就有16个完全相同的三角形（如图5）。

生：她先将圆补成了正方形，再将多余的部分分割成了许多个三角形，用正方形的面积减去这些三角形的面积就是圆形的面积（如图6）。

图3

图4

图5

图6

3.介绍刘徽的割圆术。

这与我国古代伟大的数学家刘徽的割圆术是一样的。他将圆化曲为直变成正十二边形、正二十四边形，一直到正3072边形，正多边形的边数越多，就越接近圆的周长，正多边形的面积也逐次逼近圆的面积。

小结：正因为这一重大研究成果，让圆逐渐从一个不规则图形向规则图形演变。等到我们六年级的时候，就可以利用公式来求圆的周长和面积了。

【模型建构】

本案例以张维忠教授基于数学文化建构的教学模式为原型，依据教学实践，进行了改进，形成了“以史为线”，以数学知识发生发展过程为载体的教学模式。

首先，基于教材，选择源于生活的素材，任务驱动，展开问题研究；其次，自主选择合适的知识技能、数学方法，进行数学化理解；最后，教师从数学文化的视角，帮助学生建立“数学史料”与“数学知识”“数学思想”间的联系，再现数学知识形成发展的基本过程。

【案例反思】

（一）挖掘数学文化素材——基于教材，源于生活

1.挖掘数学文化“源”。

数学文化“源”的概念是马岷兴教授所提出的，即含有丰富数学文化成分的数学事实，可以是一个数学概念、法则、定理，也可以是数学故事、问题等等。由于课时限制，一线教师很难将数学文化作为独立的课程体系，因而“教材”就成了挖掘数学文化“源”的第一手资料,需要我们思考如何将书本上的数学文化“源”与教学有机结合。

在《测量不规则图形的面积》一课中，探究对象从树叶变成脚印，本质未发生改变，但赋予了新的情境，任务驱动，从而引发学生更多的探究欲望与思维联想。

2.探索数学文化“元”。

数学文化“元”，即组成数学文化的基本要素或最小单位。教师一方面需要用数学文化的视角，重新审视烂熟于心的知识点，探寻有助于数学文化教育的成分，合理有效利用并整合教材；另一方面要积极探索课外资源，用数学的眼光结合生活、科学、艺术等，异中辨同，体会数学的本质是一种深刻的人类文化，进而理解数学的内涵，丰富数学课程资源。

案例中，将《测量不规则图形的面积》一课的教学目标，拓展到更精确地测量不规则图形面积，与割圆术、微积分相联系，渗透“转化思想”与“极限思想”。“转化思想”“极限思想”就成了本节课的数学文化“元”。

（二）经历数学化理解——端本正源，知一万毕

1.过程中学，逐步抽象。

数学理解是指运用表达数学概念、关系、问题、方法、思想的数学语言，传递信息、情感与观念的过程。其对象可以是现实的客观事物，也可以是数学本身。为了让学生感受到数学是一种深刻的人类文化，教师需要重视学生数学化的体验过程。

在尽可能精确测量脚印面积的过程中，学生逐步体会到只要将不规则图形转化成规则图形，就能求出不规则图形的面积，并能初步感知，分成的图形数量越多，就越接近原面积。这一过程正是帮助学生对具体情境问题、数学知识逐步抽象的过程。

2.还原数学之本真。

张奠宙先生说过：“数学教学的有效性，关键在于对数学本质的把握、揭示和体验。”教学中通过核心问题，引领学生深度思考，直指数学本质。

本课每一个教学环节都直指一个问题——“怎样才能尽可能精确？”最终，教师取脚印边缘的一小格，分成若干个矩形进行说明，展现化曲为直、无限分割的极限思想。事实上这也正是“微积分”的雏形，学生似乎也不难接受。

数学文化不仅仅是数学史料的讲授，数学化的理解过程，丰富的数学思想、数学精神才更具有魅力。

（三）文化链接——以史为鉴，可知兴替

1.以史为线，追溯知识的“前世今生”。

数学知识的形成和发展经历了漫长的发展过程。就数学教育而言，个体对数学知识的理解过程应遵循数学知识的发生发展过程，即数学教育应遵循历史发生原理。小学生的数学学习没有必要经历数学家这样的探索过程，但在实施教学时，沟通数学文化与知识间的联系，帮助学生再现数学知识形成发展的基本过程，才能实现属于学生自主感知的数学化理解。

在学生初步认识了“化曲为直，逐步逼近”的数学方法后，教师提出问题：你会用逐步逼近的办法求圆的面积吗？学生的想法事实上与古代伟大的数学家刘徽“割圆术”的思想方法相同。不同的是，也许刘徽经历了无数个日日夜夜，而我们的学生却在一堂课上，与刘徽有了一段相似的经历。与其说以史为鉴，可以知兴替，不如说以史为线，可知数学的前世今生。

2.瞻前顾后，建立知识的前后联系。

以史为线，可知数学的前世今生；以史为线，又可将知识连点成线，建立知识的前后联系。学生由对不规则面积的探究到对圆形面积的探究过程，是对极限思想的进一步理解。以此为契机，建立规则图形—不规则图形—圆形之间的联系，为六年级圆面积的学习奠定基础。

这就再次引发我们思考：数学文化融入数学课堂不仅仅是文化与知识的融合，也是知识与知识的融合。教师应重新审视教材，重塑、整合、梳理教材，建立知识的前后联系。

除了数学史可以贯通文化与知识、知识与知识间的联系，数学思想方法、数学名题、数学名人故事，同样可以有异曲同工的妙用。