重视习题教学中的“点滴发现”

何月丰

在上一期中，我以自己的经历解读了美国著名数学家、数学教育家G·波利亚关于习题教学的一个观点：一个专心的、认真备课的教师能够拿出一个有意义但又不太复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域。

接下来，我继续以波利亚在解题上的观点为例，叙述我对习题教学的理解。

“一个重大的发现可以解决一道重大的题目，但是在解答任何一道题目的过程中都会有点滴的发现。”

上面这句话是波利亚在其经典著作《怎样解题——数学思维的新方法》（以下简称《怎样解题》）一书中的开篇之语。

起初读到这句话时，对于前半句“一个重大的发现可以解决一道重大的题目”，我能理解和接受，像“哥尼斯堡七桥问题”的故事就可以看成是这样的现实，翻开数学史，这样的例子不胜枚举。即使到小学数学中去看，也很容易就找到这样的例子，如发现“三角形内角和是180°”之后，就能解决“多边形内角和”这样的题目。

但是，对于后半句“在解答任何一道题目的过程中都会有点滴的发现”，就有点让人费解了。至少以我这样一名小学数学教师看来，在小学有很多题目不是用来发现的，纯粹是为了巩固理解和熟练技能。比如教学了“分数乘整数”的算理和算法之后，接下来让学生做两道计算题，就是为了把那套计算的程序练练熟，何来发现之有？

因为心存不解，所以一直挂念于心，以至于在自己的习题教学中，常常这样想：这道习题在教学时能让学生有什么发现吗？

因为一直这么想着，有一些问题就逐渐清楚起来了。

首先清楚的一点是关于发现者的角色问题。仔细体会波利亚的那句话，特别是理解了他教育思想的宗旨——教会年轻人去思考（《怎样解题》主要倡导以探索法教学解题），就能理解波利亚是站在解题者的角度看待解题的，即发现是学生的发现。而我在一开始理解这句话时，是站在教学者的角度看待习题教学的，也就是说，当我在教学“分数乘整数”之后布置了两道计算习题进行练习，是基于我的目标定位来看待学生做这两道习题的价值的——为了学生计算技能的熟练，自然不会存在发现。角色不同，看法也就不同了。很显然，此处的发现，当以学生的角色来看待。

其次清楚的一点是对解题的理解。学生在学会了“分数乘整数”的计算方法之后，再做两道习题能否称为解题？我相信，以波利亚的观点，这自然不能称为解题，只能称为重复操练。在数学中，解题具有极其重要的地位，具有很强的探索性，并伴随着发现和创造。如，著名数学家、中国科学院院士王元在《数学与哲学》（张景中著）一书的序言中说：“由于具体的数学问题多如繁星，数学家往往整天埋头于解决数学问题，无暇关注数学发展中出现的‘矛盾’。”罗增儒教授在《数学解题学引论》的序言中也说：“无论是数学家还是中学生，天天都在解数学题，这种惊心动魄的实践活动已经产生了惊天动地的数学成果与流芳千古的教育成果。”波利亚《怎样解题》一书中呈现的“怎样解题表”，便是对上述理解的最直观说明。由此可见，做两道分数乘整数的习题，并不是数学上谈论的解题。

最后清楚的一点是小学生的现实情况。由上述分析可以知道，谈到解题，往往是中学生、数学家所要面临的事。数学家解题是为了突破，他们面临的题，往往是一个未知的数学问题，若能解答，定在解题中有所发现和创造。中学生解题往往是为了“习得”，他们面临的一般是一道已经被解决过的数学习题，以探索的方式经历“再发现”“再创造”的过程（当然不是全部习题都这样，定然也有一部分重复操练的习题）。对于小学生做习题而言，上述谈论的一些发现、创造行为，就只能是零零星星体现了，且层次也不够高，因为小学生的知识基础和心智能力都尚未达到这个高度。我们仔细对照波利亚的“怎样解题表”就会明白，里面讲到的一些操作，是指要面临极其复杂、难解的习题时才这样做，这在小学是很难较好实施的。因此，小学数学教材中编入“怎样解题表”的相关操作，也进行了简化，如人教版在低年级采取“知道了什么？→怎样解答？→解答正确吗？”这样三个步骤，高年级采取“阅读与理解→分析与解答→回顾与反思”这样三个步骤，不难看出都是基于小学生的实际情况所进行的处理。

有了以上这三点认识，我意识到，如果要将波利亚的观点——在解答任何一道题目的过程中都会有点滴的发现——在小学中也能较好实施的话，一定要将其进行适当地“儿童化”处理。意识到这一点，也就让我对波利亚的这个观点有了自己基于小学生的实际情况的看法。

首先，在小学数学习题教学中，我们要将波利亚的观点看成是一种理念，而不是一种必然的行为。小学数学作为基础中的基础，习题教学的主要任务是巩固知识和熟练技能，这一点是毋庸置疑的，且这样的任务占据了习题教学的绝大部分时间。在这样的现实背景下，结合波利亚的观点，有两个方面需要引起我们重视：第一，在利用习题来巩固知识、熟练技能的过程中，也要适当地利用这些习题来实现“发现”；第二，在小学数学的习题中，定然存在着一些可以专门作为发现的习题，这样的习题一定要好好利用。对这两方面的重视，就可以作为一种小学数学习题教学的理念。这种理念并不是要刻意突出“发现”的重要性，而是在强调教师要善于发现并发挥每一道习题不同的价值，特别是在巩固和熟练的同时伴随发现，因为这是常常被忽视的。

其次，“点滴的发现”应当成为小学数学习题教学的追求。在上一点中已经提及，即使在小学，例题教学之后，在习题教学中引导学生再有新的发现，这样的事是客观存在的。例如学习了长方形的面积计算方法之后，在习题教学中就会引导学生发现“周长相等的情况下，长和宽越接近，长方形的面积越大”这个结论，等学习了圆的面积之后，这个结论还将被进一步修改，即“周长相等的情况，圆的面积最大”。所以，一开始我是太关注“发现”了，认为波利亚观点中的发现就应该是类似于上述这样的发现，以至于认为在小学数学的习题中经常有这样的发现的可能性不大。现在，当我开始重视“点滴的发现”，并以此来作为对波利亚观点的“儿童化”之后，看法就完全不一样了。这也就是说，以儿童的眼光来看待发现，一种不同的计算方法可以是发现，一种公式的逆运用也可以是发现，点点滴滴，如此等等。

以上看法的形成，源于自己的实践与思考。下面的例子，或许可以比较直观地展现我对“在解答任何一道题目的过程中都会有点滴的发现”这个观点的“儿童化”理解。

【案例：分数乘整数】

例题：

第一组习题：

如此，“计算结果能约分的要约分”并不是教师的告知，而是学生的发现。

第二组习题：

同样地，在计算过程中约分这件事教师可以直接告知，但是，用“发现”的方式显然会更加有意义。

上述例子，便是我一开始认为不可能有发现的情况。举例上述这样的教学过程，也只是想说明自己的观点：重视习题教学中“点滴的发现”，可以看到这样习以为常的习题解答同样是存在着发现的现象的。虽然像“发现计算结果是分数的时候能约分的要约分，发现有时候可以在计算过程中约分”这样的发现真有点无足挂齿，但是从学生的视角来看待，从儿童的视角来看待，这也是了不起的发现。特别是，若能持之以恒地开展习题教学，关注“点滴的发现”，就会培养学生善于观察、分析、发现的能力。

综上所述，不难得到这样的结论：在小学数学习题教学中要实现“在解答任何一道题目的过程中都会有点滴的发现”，关键在于教师。教师深刻理解学生、深度把握习题，既重视“周长相等的情况下，长和宽越接近，长方形的面积越大”这样的重大发现，也重视“计算结果是分数的时候能约分的要约分，有时候可以在计算过程中约分”这样的点滴发现，就能让更多学生在更多习题中有更多的发现，从而获得更好的发展。