数学例习题“二次开发”点亮学生的学习潜能

黄彩虹

【摘要】以数学课程标准为依据，初中数学例题、习题教学的现状，进行列举和分析，结合教学实践中的相关案例，紧紧围绕教材例题、习题 “二次开发”。 开发例题中的数字 提高课堂教学效果;开发例题的背景， 使数学课程更具现实性;开发一题多变，培养思维的灵活性;开发一题多解，培养思维的发散性;开发增加或改变知识点，结论适当延伸，培养思维启发性;开发例题的题设和结论 发展学生思维的广阔性。

【关键词】初中数学   例题习题   二次开发   思维的发散性   思维的广阔性   思维启发性

在新课改程理念下，数学教材不再是教师上课诵读、宣讲的对象，而是教学的材料和学生主动建构意义的对象。这就要求教师在教学设计中，结合学生的认知特点和心理规律，有效地分析教材、 整合教材、创新教材，对教材进行再加工、再创造、使教材发挥其课程资源的应有功能，以提高课堂教学实效。

一、开发例题中的数字 提高课堂教学效果

数学教师在上课时常用的方法，特别是在讲解计算型的题目时，如：合并同类项时。例、“3a+4a”引导学生改成“6a+7a”或“5b+3b”，再改成“-3a+4a”，再总结合并同类项的规律，这对教学效果是没有任何影响的，同时这样随意改动，学生觉得得心应手，学生自已增加自信心，提高了课堂教学效果。

二、开发例题的背景 使数学课程更具现实性

有时为了激发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛，不要忽视课堂情感的投入。在上课时可以对题目的背景进行适当更改，教师有意识地进行题目背景的更换，使知识溶入在不同的背景中，选择的背景是学生熟悉的事物和情景，这会让数学教学因贴近生活而变得更加可亲.让学生用数学的眼光去观察和思考发生在身边的现象，使数学课程更具现实性。

如图，点D，E分别是AB，AC边上的点，且AD=4，BD=2，AC=8，若ΔADE∽ΔACB，则AE的长是多少？

变化1：如图，亮亮想测量操场上旗杆AB 的高度，他站在该旗杆的影子上前后移动，直到他身体影子的顶端正好与旗杆影子的顶端重叠，此时同伴颖颖测出亮亮与旗杆距离BE=12m，亮亮的影子长CE=4m.已知亮亮的身高DE=1.6m 图中ΔCDE 与ΔCAB是否相似？请说明理由; 求旗杆AB的高度。

变化2：如图亮亮和他的同学颖颖利用树影测量树高，他们在同 一时刻测得颖颖身高为1.5m其影长为1.35m，因大树靠近一栋教学楼，大树的影子不全在地面上，他们测得地面部分的影子长BC=3.6m，墙上影子高CD=1.8m，求树高AB？

变化3：测量宿舍楼的高度，亮亮和颖颖住在同一宿舍，两人准备用测量影子的方法测其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面的方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M、颖颖的头部B及亮亮的眼睛A恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C，D，然后测出两人之间的距离CD=1.25m，颖颖与楼之间的距离DN=30m（C、D、N在一条直线上），颖颖的身高BD=1.6m，亮亮蹲地观测时眼睛与地面的距离AC=0.8m.根据以上测量数据求出宿舍楼高。

对题设条件进行变化，克服学生思维定势。充分渗透数学猜想和归纳法，培养学生探究能力和发散思维能力。 教师有意识的进行题目背景的更换，将知识融入在不同的背景中，选择的背景是学生熟悉的事物和具体的情景，让学生在数学的世界里开拓出可供他们思索、探讨和发展的用武之地。

三、开发一题多变   培養思维的灵活性

一题多变是题目结构的变式，是指变换题目的条件或结论，或者变换题目的形式，而题目的实质不变，从不同角度，不同方面揭示题目的本质，用这种方式进行教学，能使学生随时根据变化了的情况积极思索，设法想出解决的办法，从而防止和消除呆板和僵化，培养思维的灵活性。一题多变可以改变条件，保留结论;也可以保留条件，改变结论;或者同时改变条件和结论;也可以将某项条件与结论对换等等。

例如，我在评讲北师大版九下《圆》复习题时，我把这题改编为：

已知：MN是⊙O的切线，切点为C，AB是⊙O的直径。求证：点A、B到MN的距离之和等于⊙O的直径。

此题看似一道很普通的习题，经过一番探索，发现它有丰富的内涵。

1.挖掘证明

思路1：连OC，证明半径OC是直角梯形ABED的中位线。

思路2：连AC、BC，过C作CG⊥AB，证明△ADC≌△ACG，△BCG≌△BEC，得到AD=AG，BE=BG.

2.挖掘联系

从图中不难发现：OD=OE，AC、BC分别平分∠DAB、∠EBA，因此，本例实质上是下面习题的再现：

（1）求证：直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离相等。

（2）设AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和⊙O在点C的切线垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB.

又因为AB=AD+BE，所以它是下面习题的一种特殊形式：

（3）已知：梯形ABED中，AD∥BE，AB=AD+BE，C为DE的中点，求证：AC、BC分别平分∠DAB和∠EBA.

这样通过典型范例的思路剖析，使学生牢固掌握基本题型及解题规律，揭示知识间的内在联系、前后贯通、引伸拓宽，使学生的思维活动始终处于一种由浅入深、由表及里，由一题到一路的“动态”进程之中，形成了一条较为完成的知识链，充分调动学生的学习积极性和主动性，激发学生探求知识的欲望，发展了学生思维的广阔性。

四、开发一题多解   培养思维的发散性

一题多解实际上是解题或证明定理、公式的变式，因为它是以不同的论证方式反映条件和结论问的同一必然的本质联系，运用这种变式教学，可以引导学生对同一材料，从不同角度、不同方位思考问题，探求不同的解答方案，从而拓广思路，使思维向多方向发展，培养思维的发散性。

例：解不等式：（x+4）（x-1）>0

解法1：利用分类讨论的思想方法。

解：①当x+4>0，则x-1>0当若x+4<0，则x-1<0

即可以写成：  x+4>0       即可以写成： x+4<0

x-1>0                             x-1<0

解不等式组得： x>-4      解不等式组得： x<-4

x>1                                 x<1

综合以上两种情况：不等式解集：x>1 或x<-4（以上解法依据：若ab>0，则a，b同号）

解法2：利用方程和函数的思想方法。

令y=（x+4）（x-1）

当y>0时，x<-4或x>1

因此，原不等式的解集为x<-4或x>1。

解法3：利用数行结合的思想方法。

由函数y=（x+4）（x-1）的图象可得

当y>0时，x<-4或x>1

因此，原不等式的解集为x<-4或x>1.

数学思想方法是数学知识的精髓，是联系各部分知识的纽带，是解题时的“指南针”。思考数学问题时，用不同的思想方法，对问题进行适当的变换，往往能使问题化繁为简，化难为易。

五、開发增加或改变知识点，结论适当延伸，培养思维启发性

例： 如图⊙o1 和⊙o2 外切于点 A， BC 是⊙o1 和⊙o2 的公切线， B、C 是切点， 求证： AB⊥AC.

分析： 讲解例题时，可启发学生用多种方法进行求证，特别强调“切线与过切点的半径垂直”，为解决问题做好知识准备。

设计1： 如图，延长例题 1 中的 BA 交⊙o2 于E，延长 CA 交⊙o1于D，连 BD、CE.求证 BD2=DA·DC.

分析： 本题实际上是例题 1的延伸.这道题的设计源于课本又高于课本，有助于考查学生运用所学知识分析问题、解决问题的能力。本题的结论可启发学生利用例题结论结合切线的性质通过相似三角形求证。

设计2： 如图，在上题基础上，过点D作⊙o2 的切线 DF，切点为F，求证： DB=DF.

分析： 对于这一问学生可能不易找到正确的解题途径，但通过分析，利用第一问结论再结合切割线定理便可得到证法。

并由此归纳： 证明两条线段相等除运用全等三角形、等腰三角形的有关知识外，还可以运用比例线段的知识进行分析求证。从不变中求变化，从变化中求规律，可以培养学生探究数学问题的能力。

六、开发例题的题设和结论   发展学生思维的广阔性

教材中的许多例题都有一定的代表性，教师上课时常以它为载体，对例题的题设和结论进行变式和改编，这对提高学生的发散思维能力，锻炼他们思维的灵活性是大有裨益。

例：如图，△ABD和△AEC均为等边三角形，B、A、C三点在同一直线上，连接BE、CD.求证：BE=CD.

方法1：改变例题的题设： 只将“B、A、C三点在同一直线上”改为“△ABD和△AEC分别绕点A旋转”，其余部分不改。

方法2：改变例题的题设： 只将“等边三角形”改成“等腰直角三角形”，继而改成是“等腰三角形”，“正方形”，“任意正多边形”，其余部分不改。

方法3：改变例题的结论： 只将“求证：BE=CD”改成“求出∠BHD的度数，其余部分不改。

苏霍姆林斯基说过：“如果你追求的只是那种表面的，显而易见的刺激，以引起学生对 学习和上课的兴趣，那你就永远不能培养起学生对脑力劳动的真正热爱”。研究表明，大量 的题型复制、繁难的习题求解演示和解题术的记忆与重复等活动并不能让学生有效地进行学习。教师对数学课本例题、习题的“二次开发”大大提高数学教学的有效性。

【参考文献】

[1]俞红珍.教材的“二次开发”.

[2]冯剑.浅谈基本图形的运用与变式.