“高观点”下引导学生高阶学习

顾银凤

摘  要：只有秉持“高观点”，秉持数学知识的“大视角”“大概念”“大思想”“大结构”，才能有效地引导学生的进阶学习。在小学数学教学中，教师既要着眼于数学，又要着眼于学生，更要着眼于方法。只有这样，才能引导学生在“高观点”统领下进行知识进阶、思维进阶和方法进阶。只有引导学生的学习不断进阶，才能让学生真正成为学习的主人。

关键词：小学数学;高观点;高阶学习

德国著名数学家、数学教育家克莱因倡导初等数学教学的“高观点”，他认为，许多初等数学的内容必须放置于高等数学的视角内来进行审视，才能获得通透性的理解。所谓“居高”才能“临下”，“高屋”方可“建瓴”。只有秉持“高观点”，秉持数学知识的“大视角”“大概念”“大思想”“大结构”，才能有效地引导学生的进阶学习，让学生由低阶认知迈向高阶思维状态。在小学数学教学中，只有站立于“高观点”视角上，才能把握数学知识的本质，有效地引导学生的高阶学习，让学生真正成为数学学习的主人。

一、着眼于数学：“高观点”统领下的知识进阶

秉持“高观点”，首先要对数学知识进行审视。不仅要把握数学知识点的本质，更要将数学知识点放置于数学知识结构、数学思想方法中进行审视。“高观点”统领下的知识进阶，包括“大概念统领”“思想性包摄”“结构性关联”。“高观点”统领下的知识教学，往往抽象度高、概括性强、包摄性大、解释性丰。既见树木更见森林，既见皮囊更见灵魂。在“高观点”下，学生不仅能把握数学核心知识、本质，更能领悟数学的核心思想方法。

《分数的意义》（苏教版五上）这部分内容是在三年级《分数的初步认识（一）（二）》的基础上进行学习的。教学这部分内容时，绝大部分教师都是从学生已有的知识经验出发，将单位“1”的量概括成“一个物体”“一个计量单位”“许多物体组成的一个整体”等。这样的教学中，学生对单位“1”的量的理解是肤浅的、静止的。单位“1”的量之于学生的数学学习不具有生长性。笔者在教学中引导学生动态认识单位“1”的量，将分数放置于度量意义的高观点下引导学生感受、体验，充分体现分数的无量纲性。所谓“无量纲性”就是我们在用分数表示两个量之间的关系时，无须考虑量的其他属性，只需要把这个量平均分成若干份，表示这样的几份。笔者出示6个同样大小的正方形，引导学生思考：这些正方形可以用哪些数来表示？由于标准不同（即将不同个数的正方形看成单位“1”的量），所以6个正方形可以用不同的数来表示。如将6个正方形看成一个整体，6个正方形就是单位“1”;将3个正方形看成一个整体，6个正方形就是整数“2”;将12个正方形看成一个整体，6个正方形就是“ ”等。在这里，单位“1”跳出了一般性的定义，成为一把尺子，可以进行度量。不仅如此，这样的教学有效地沟通了分数、整数，让学生对数的理解获得了一种连续性。单位“1”的量在度量意义视角下被赋予了灵动的、深刻的内涵，充分体现了分数的无量纲性。

这样的教学，站在“分数的意义”高观点视角下，运用一种生成性、动态性的教学方式，助推学生的数学理解。学生在高观点教学下能有效生成数感，形成對数学概念、知识的本质洞察，形成对数学概念、知识的结构性把握，形成对数学概念、知识背后思想的感悟。在高观点视域下，大概念、大思想、大结构是三位一体的。“大概念”离不开“大思想”，同时它们一定是在“大结构”之中的。从这样的意义上说，“高观点”视角下的教学就是大概念教学、思想性教学、结构性教学。

二、着眼于学生：“高观点”统领下的思维进阶

用“高观点”统领数学教学，不仅要把握数学学科知识结构、思想等，更要把握学生的具体学情。如果说，学科知识结构、思想是“高观点”教学的基础，那么，学生的具体学情就是“高观点”教学的前提。在数学教学中，教师应当以学生的思维为核心，引导学生的数学思维由表及里、由点及面、由浅入深地逐步发展、提升。要引导学生对所学内容进行横向、纵向思考，从而提升学生的思维品质。教学中，教师要把握学生的具体学情，将教学切入学生数学学习的“最近发展区”，引导学生由“可能发展区”迈向“现实发展区”。

比如教学《异分母分数相加减》（苏教版五上），一般教师通常创设问题情境，然后让学生自主探究，比如“画图法”“化成小数法”“化成同分母分数法”等。这样的教学，尽管也能让学生灵活掌握异分母分数相加减的法则，但这种法则的掌握多半是停留在操作层面的。如何让学生形成整数、小数、分数相加减的“高观点”？笔者在教学中以“图片+算式”的方式分别呈现：1+1，1+10，1+0.1，并用问题启发学生思考：算式中的两个“1”是否可直接相加？由此激活学生对整数加减法、小数加减法法则的记忆，引导学生认识到：只有计数单位相同才能相加或相减。有了这样的高观点认知，学生就会自主探究“异分母分数加减法的法则”。在这个过程中，学生认识到，无论是将“异分母的分数化成小数进行计算”还是将“异分母的分数化成同分母的分数进行计算”，都是为了让计数单位从不同转变为相同。这样，学生不仅深刻理解了异分母分数相加减的法则背后的算理，更将整数加减法、小数加减法和分数加减法的法则勾连、串接起来，形成了一种更为上位的认知。

瑞士著名教育心理学家皮亚杰的认知建构主义学习理论认为，学生的学习就是主动建构认知图式的过程。当新知与原有认知图式一致时，就会发生积极同化的学习现象;当新知与原有认知图式不一致时，原有认知图式就会改变、调整，以便顺应新知。基于“高观点”视角，教师要引导学生把握整体，左右勾连。在这个过程中，学生会主动地进行横向数学化、纵向数学化的数学思考，进而提高学生的思维品质，引导学生的思维不断进阶。

三、着眼于学习：“高观点”统领下的方法进阶

学生的数学学习能否实现不断进阶，不仅依赖于学生对数学知识的整体性把握，而且需要对学生的具体学情进行把握，还要能根据整体性知识以及学生的学习样态，采用合适的方法对学生进行引领、培养。从根本上说，学生的学习进阶归根结底是学习能力的培养，而学习方法是学习能力中的一个重要组成。着眼于学生的学习，教师要引导学生的方法进阶。正如法国著名思想家笛卡尔所说：“一切学习都是方法的学习。”

比如教学《圆柱的体积》（苏教版六下），教师可以从“圆的面积”的推导复习开始，启发学生将圆柱体通过无限切割的方法转化成长方体。在这个过程中，学生自然能领悟“化曲为直”的思想。从根本上说，“转化”“化曲为直”这些思想方法在数学中是一以贯之的，是一种“高观点”“高内涵”。在学生掌握了“圆柱的体积”之后，教师还可以将“长方体的体积”“正方体的体积”并置其中，引导学生形成整体性认知。通过多媒体动画演示，学生能直观感知到：一个长方形通过平移，能无限叠加成长方体;一个圆形通过平移，能无限叠加成圆柱体。于是，长方体、正方体和圆柱体的体积公式就在一个更高的层面上统一了，形成了“V=Sh”的上位认识。对于学生的数学学习来说，形成一种知识的上位认识还是次要的，更重要的是学生在形成上位认识的过程中，数学思想得到了提升。就如同在长方体、正方体和圆柱体体积统一公式的形成过程中，学生所感受到、体验到的一种无限叠加的极限思想，这种思想不仅对学生学习这部分知识内容大有裨益，而且有助于学生今后的数学学习。通过这样的思想方法，学生对三棱柱、四棱柱等多棱柱的体积公式都能形成一种自主性建构。

数学的思想、方法是数学教学的灵魂。在数学教学中，秉持一种高观点，进行一种大概念、思想性、结构性的教学，能让学生举一反三、触类旁通。可以这样说，只有“高观点”视角下的数学知识才具有一种活性，内含一种遗传密码，能再生知识、创生知识。“高观点”下的数学教学，能让学生运筹帷幄，更好地组织、利用、挖掘数学知识，帮助学生打通“任督二脉”，从而能自主生产知识、建构知识、创造知识。

德国著名数学家菲利克斯·克莱因在《高观点下的初等数学》中深刻指出：“数学教师应具有较高的数学观点，观点越高，事物就越显得简单。”“高观点”下的数学教学，是当下数学课堂教学的价值转型。运用现代教学理论，准确把握小学数学的本质、关键，注重思想方法的渗透，是“高观点”下数学教学的必然。作为教师，只有“站得高”，才能“望得远”。运用高观点进行教学，必然能让小学数学园地呈现一派新的景象与新的生机。