一类概率问题的求解方法——递推数列

吴洁莹

（江西省南昌市立德朝阳中学 江西南昌 330026）

例2：设棋子在正四面体ABCD的表面从一个顶点移向另外3个顶点是等可能事件，现抛掷骰子，根据其点数决定棋子是否移动， 若投出的点数是奇数，则棋子不动;若投出的点数是偶数，棋子移动到另一顶点，若棋子的初始位置在顶点A，回答下列问题：

（1）投掷一次骰子，棋子到达顶点B的概率；

（2）投掷两次骰子，棋子到达顶点B的概率；

（3）投掷n次骰子，棋子到达顶点B的概率。

【分析】

若投掷一次骰子就能达到B点，则投出点数为偶数且棋子由A移到B；若投掷两次骰子，棋子到达B点，则两次点数或者都为偶数，即棋子先由A移到B或B再移到B，或者一奇一偶(包括先奇后偶和先偶后奇)，即棋子先不动再从A移到B和棋子先由A移到B再不动。投n次骰子，棋子到达顶点B的概率与第n-1次到达B的概率有关，可以利用递推数列体现这两个概率的关

例3：[2019年高考理科数学全国1卷第21题]

为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为x.

（1）求x的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，Pi（i=0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则P0=0，P8=1，Pi=aPi-1+bPi+cPi+1（i=1，2，…，7），其中a=P（x=－1），b=P（x=0），c=P（x=1）。

假设α=0.5，β=0.8。（i）证明：{Pi+1－Pi}（i=0，1，2，…，7）为等比数列；（ii）求P4，并根据P4的值解释这种试验方案的合理性.

【分析】在此基础上若第二问不告诉递推公式Pi=aPi-1+bPi+cPi+1，要去证明{Pi+1-Pi}（i=0，1，2，…，7）为等比数列。我们可以做一下分析：

依题意，当其中一种药治愈白鼠比另一种药多4只，就停止试验，并认为治愈只数越多得药越有效。甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，Pi（i=0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则P0=0，P8=1。若甲得i分，考虑下一轮，要么变为i-1，此时对应概率为a，要么不变，仍为i，此时对应概率为b，要么变为i+1，此时对应概率为c。故Pi=aPi-1+bPi+cPi+1。

案例说明：本节是基于学生基本掌握了求概率的基本方法以及由递推数列求数列通项公式的基础上进行探索的。寻找递推关系由浅入深，例1、例2是找Pn与Pn-1的关系，例3是找Pn与Pn-1，Pn-2的关系，例4是找Pn与Pn，Pn-1，Pn-2。每道例题进行了详细的分析，遵循从一般到特殊的原则，引导学生类比思考，分析Pn与它前1项或前几项的关系，则得到递推关系就水到渠成。