高等数学教学中融入数学文化策略研究

祁 兰，马 崛，张 媛

(榆林学院 数学与统计学院，陕西 榆林 719000)

0 引言

高等数学是高校众多专业中最为重要的基础课程之一，其广泛而深入地应用于计算机、人工智能、信息管理、工程技术、经济管理、医学等众多领域，已成为大学生知识和能力结构的重要组成部分。通过高等数学课程的学习，使学生系统地掌握微积分的基本知识、计算方法以及基本的数学思想方法和必要的应用技能，为学生进一步学习其他后续课程和相关专业基础课程奠定必要的现代数学基础。然而，许多教师在高等数学教学过程中以讲授数学理论知识和应用为主，往往忽略数学思想、精神及人文等内容的传授。大多数学生只是肤浅地了解高等数学的思想、精神，对数学的宏观认识和总体把握较差，学生只是为了应付考试，通常以做各种典型的类型题的方式去学习、复习，这非常不利于培养学生的科学探究精神和创造性思维，甚至还会影响学生学习高等数学的积极性。因此，如何将数学文化[1-4]融入高等数学的教学过程中，真正地实现该学科应有的教育目标，发挥其应有的教育功能，对提升学生的数学素养有着深远的意义。

1 教学过程中融入数学史，有利于激发学生学习兴趣

数学史[5-6]是研究数学发展历史和规律的一门学科，不仅包含着许多有趣的数学史料，同时也包含着许多重要的数学思想及方法，不了解数学史就不可能全面了解数学科学。高等数学中涉及的概念、定理比较多，如果结合教学内容在教学过程中适当融入渗透一些数学史的教育，并穿插相关概念、定理的发展历史，介绍一些数学家轶事，包括一些数学定理证明之路的艰难，不仅可以活跃课堂气氛，陶冶学生思想情操，使枯燥乏味的数学内容变得生动有趣，还可使学生更全面地了解高等数学的发展和演变过程，有助于学生理解、掌握数学知识，激发其学习数学的兴趣。

例如，无穷小概念的讲解，可以先讲一讲故事。关于无穷小，牛顿前后给出了三个解释，1669年牛顿称无穷小是一个常量，而在1671年，他又称无穷小是一个趋近于零的变量，1676年则称无穷小是“两个正在消逝量的最终比”。而莱布尼兹用与无穷小量成比例的有限量的差分来试图解释无穷小量，然而，最终这两位微积分的灵魂人物都没有找到无穷小量合理的定义。因此，很多数学家和神学家纷纷吐槽微积分理论的正确性。数学家罗尔曾说“微积分是巧妙的谬论的汇集”；英国大主教贝克莱说“流数(导数)是消失了的量的鬼魂”，其称微积分“依靠双重错误得到了虽然不科学却是正确的结果”。而这些关于微积分理论的基础——无穷小的质疑，直接摇撼了微积分的合理性，这也就是所谓的第二次数学危机。直到19世纪，通过波尔查诺、阿贝尔、柯西的贡献，到威尔斯特拉斯给出现在的极限的定义(函数极限的定义)，并把微分、积分直接严格定义在极限的基础上，第二次数学危机才得以解决。

高等数学中的每一个数学概念、命题、公式、法则，其背后都有一部活生生的历史，在教学过程中，可以介绍一些伟大的数学家例如牛顿、莱布尼兹、达朗贝耳、柯西、欧拉等生平事迹和对数学的贡献，不仅可使学生了解数学家的故事，还可使其从中学到数学家的思想、处理问题解决问题的方法、人品和处世态度，从而培养学生的学习兴趣，掌握学习数学的方法。

2 教学过程中融入数学思想，有利于培养学生的创新能力

数学思想是数学中处理问题的基本观点，是对数学内容的本质概括。数学思想方法与数学知识相比，知识的有效性是短暂的，思想方法的有效性却是长期的，能够使人受益终身。数学的思想方法是处理数学问题的指导思想和基本策略，是数学的灵魂[7]。古人云：“授人以鱼，不如授之以渔。”因此，在高等数学的教学中注重引导学生领悟和掌握数学思想方法，提高学生的思维水平，使其真正懂得数学的价值，建立科学的数学观念，从而能够运用数学、发展数学。

在高等数学教学中，一定要揭示隐含于知识中的深刻的数学思想方法，例如函数思想、方程思想、极限思想、数学结合思想、化归思想、类比思想及建模思想，等等。其中，类比的思想方法是解决高等数学问题的一种基本的常用思想方法，也就是根据某一事物的某些已知特征来推测另一事物也存在相应特征的思维活动。教学过程中，引导学生由已熟悉的知识，通过类比的方法来引申出新的概念、新的理论，学生不但容易接受、理解、掌握所学知识，更重要的是有利于培养其类比思维和创造能力。

例如，高等数学中一元函数的微积分和多元函数的微积分，它们在基本概念、数学思想和解题技巧等方面都有许多相似性，在教学过程中，可以引导学生借助于一元函数的微积分的相关定义、性质、数学思想以及解题技巧，来类比学习理解相应的多元函数微积分的相关定义、性质、数学思想和解题技巧，这样学生学起来就会倍感轻松。又如在微分中值定理这部分知识的教学中，如果利用类比方法引导学生，将罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的条件、结论、几何意义进行比较，对培养学生的类比思维将大有裨益，同时也会取得很好的教学效果。

3 教学过程中融入审美思想，有利于培养学生的审美能力

数学文化是一门自身具有独特美学特征功能与结构的美学分支。数学美是自然美的客观反映，是科学美的核心。我国著名数学家徐利治先生指出：“作为科学语言的数学，具有一般语言文学和艺术所共有的美的特点，即数学在其内容结构上和方法上也都具有自身的某种美，即所谓数学美。数学美的含义是丰富的，数学概念的简单性、统一性，结构系统的协调性、对称性，数学命题和数学模型的概括性、典型性和普遍性，还有数学中的奇异性等都是美的具体内容。”[8]这是对数学美的内容和形式的精辟论述。

同时，高等数学庞大的知识网络也充分体现了数学中的和谐美。例如，微积分基本定理使得微分的局部性质和积分的整体性质得到了统一。积分是微分的逆运算，因此基本积分公式可由基本导数公式直接推出，对比积分和微分公式，其显示出漂亮的对称性、有序性和统一性。微分中值定理与积分中值定理，进一步显示出具有和谐美的微积分。微分中值定理是微分理论的重要组成部分，其中罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理之间的关系充分表达了微积分定理之间的和谐与统一。这些和谐的公式使我们感觉到数学的美，而只有理解和掌握高等数学的内在联系，才能体会到这种数学美，同时激起学生从审美的角度进行探索性思维，提高科学审美能力。

4 教学过程中融入哲学思想，有利于学生树立正确的世界观

数学与哲学密切联系，相辅相成。捷克数学家波尔达斯曾深刻地说明了两者的关系：“没有哲学，难以得知数学的深度，当然没有数学也难以探知哲学的深度，两者相互依存，犹如一对孪生兄弟。如果既没有数学又无哲学，则就不能认识任何事物。”[9]因此在高等数学教学中，如果能站在哲学的高度，揭示高等数学内容的深刻内涵，必然会大大提升学生对数学内容的理解深度和对其本质的把握，从而激发学习数学的兴趣，同时对培养学生的辨证思维能力具有十分重要意义。

人们认识事物的辩证法原理，即从一般到特殊、具体到抽象、量变到质变，这在高等数学这门课程的学习中得到了充分的体现。讲解高等数学是由简单到复杂，具体到抽象，首先介绍一元函数的微积分，然后讨论二元函数、三元函数以及推广到一般的n元函数。若能够透彻掌握低维的情形，则高维的情形也就迎刃而解了。又比如从形式上看，牛顿—莱布尼兹公式、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式是完全不同的积分，但若把它们上升到外微分的高度来看，它们的实质是一样的，反映的都是展布于一定几何形式的积分与沿着几何形的边界的积分相等的问题，而仅仅是几何形式不同所对应的表达形式不同而已。

高等数学的概念、原理之间既互相渗透又互相制约，是事物普遍联系规律的反映。例如，极限概念包含着十分深刻、丰富的辩证关系，特别是变与不变、近似与精确、有限与无限等，而且极限是整个高等数学大厦的基石，连续、导数、定积分、偏导数、重积分、曲线积分、曲面积分和无穷级数等都是建立在极限定义的基础上。又如定积分、重积分、线积分和面积分的概念，都是从不同的具体模型抽象概括出来的，但它们之间却有着本质的联系，即都是“分割，近似代替，求和，取极限”的数学思想方法，其概念的结构是类似的。

5 教学过程中融入数学建模思想，有利于培养学生的应用能力

数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践活动[10]。数学建模是数学问题解决的一种重要形式，其可以培养学生的数学意识和应用数学知识来解决实际问题的能力，有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力[11]。数学建模的思想在高等数学的内容里处处有所体现，数学模型思想和方法都无一例外地渗透于极限、连续、导数和定积分等概念的产生历史。课堂教学无疑是研究性教学的主阵地，但除此之外还包括创新实践性教学环节、指导学生课外自主学习和组织开展各类科技创新活动。所以，在高等数学的教学中融入数学建模思想，体现数学源于生活，生活中处处有数学，使学生能够在课堂上接触一些简单的实际应用问题，从而培养学生应用数学知识解决实际问题的意识和能力，有利于提高其研究性学习能力。

在高等数学教学中融入数学建模思想。数学理论是由实际需要而产生的，也是其他定理和应用的前提。因此在教学中应重视从实际问题中抽象出数学概念，让学生从模型中切实体会到数学概念是因有用而产生的，从而培养学生学习数学的兴趣。例如，讲解定积分概念时，可以运用求曲边梯形面积作为原型，让学生体会在一定条件下“直”与“曲”相互转化的思想以及“化整为零、取近似、聚整为零、求极限”的积分思想。通过模型来学习概念，加强数学来源于生活实践的思想教育。更重要的是让学生看到问题的提出背景，进而对数学建模产生兴趣。同时应重视传统数学课堂中重要方法的应用，例如，利用一阶导数、二阶导数求函数的极值以及函数曲线的曲率在解决实际问题中的应用。

将数学文化以“润物细无声”的方式适时适当地融入渗透在高等数学教学中，挖掘隐藏在高等数学背后的知识发展脉络和大量鲜为人知的史料，使学生上升到文化层面来理解数学，进而更加喜欢和热爱数学。在数学文化的潜移默化熏陶下，使学生不仅能轻松掌握高等数学的知识体系，同时还能学到终身受益的数学精神、思想和方法。