全等变换万千题 源头却在课本中

文钱小强

“全等三角形”是初中数学的重要内容之一，在中考中占比很大。三角形的全等变换主要有平移、翻折、旋转三大类，只改变三角形的位置，不改变三角形的形状和大小。仔细研究课本你会发现，无论问题如何变化，这类问题的根其实就在课本之中，有的直接来自课本原题，有的则是将课本原题适当改编。课本是万题之源，也是数学学习之根本。

一、平移型全等变换

例1（2019·江苏连云港）如图1，在△ABC中，AB=AC。将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE与AC相交于点O。（1）求证：△OEC为等腰三角形；（2）连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由。

【试题追踪】本题源自苏科版教材八（上）第21页例6：

已知，如图2，点A、B、C、D在一条直线上，EA//FB，EC//FD，EA=FB。求证：AB=CD。

【特点比较】两题本质上都考查了三角形全等的知识，比较发现：连云港试题考查了全等三角形的性质，直接将“三角形平移”作为条件，根据平移的性质可以直接得到两个三角形全等，然后借助等腰三角形的性质解答；课本例题呈现的是一个静态图形，既考查了全等三角形的判定，也考查了全等三角形的性质，由题目条件可以得到△AEC≌△BFD，虽然条件中没有“平移”二字，但本质上也是三角形的平移。两题如出一辙。解题过程留给同学们探索。

二、翻折型全等变换

例2（2019·江苏常州）如图3，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E。（1）连接AC′，则AC′与BD的位置关系是_____；（2）EB与ED相等吗？证明你的结论。

【试题追踪】本题源自苏科版教材八（上）第28页例8：

已知，如图4，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°。求证：AO=BO，CO=DO。

【特点比较】比较两题，发现两题都属于三角形的翻折，它们的证明方法类似，而且都可以变式、拓展，具有较大的发展空间。两题的不同之处是所给条件不同。常州试题从图形变换的角度直接给出翻折的条件，课本例题则是从静态的角度给出了翻折后的图形；常州试题给的是一般三角形，课本例题中是直角三角形。解题过程同样留给同学们自行探索。

三、旋转型全等变换

例3（2019·江苏苏州）如图5，△ABC中，点E在BC边上，AE=AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF=∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G。（1）求证：EF=BC；（2）若∠ABC=65°，∠ACB=28°，求∠FGC的度数。

【试题追踪】本题源自苏科版教材八（上）第21页“讨论”的第1题：

如图 6，∠A=∠B，∠AEB=∠CED，EA=EB，你能证明AC=BD吗？

【特点比较】苏州试题与课本例题图形较为接近，但又有所区别。两题的结论基础都与三角形全等紧密相关，都可以从结论着手分析，找出要证明的两条边所在的三角形的全等关系。苏州试题要证EF=BC，只要证△AEF≌△ABC；而课本例题要证AC=BD，只需证△AEC≌△BED。两题图形中的一个三角形都可以看成由另一个三角形绕某一点旋转而成，可运用旋转的有关知识解决。两题不同之处在于呈现的方式不同，苏州试题直接将旋转变换作为条件，课本例题中条件没有指明旋转，但本质也是三角形旋转变换。同学们可以试着写出解题过程。

从上述试题追踪与特点比较可以看出，尽管中考试题千变万化，但它们的源头离不开课本，即课本的基础知识、基本方法与基本图形。我们在学习数学时，一定要充分发挥课本的作用，以不变应万变，避免陷入“题海”之中。