特殊差分方程的求解

孙建新

(绍兴文理学院 数学系，浙江 绍兴 312000)

0 引言

众所周知，一般常微分方程的教材[1]都考虑可微函数的常微分方程的求解，并且贝努里微分方程、恰当微分方程以及存在恰当因子的微分方程是三类常见的可以求解的特殊微分方程.但是随着计算机信息时代的来临，人们遇到的大量问题是离散型的.微分方程只能提供离散问题的近似解，人们需要更多地考虑差分方程的求解.本文提供的方法，就是为差分方程的求解提供若干类型与解法，并且作为应用，举出了几个典型的实例.

本文所定义的三类差分方程，除了可以直接“和分[2]”求解的差分方程以外，是最具有代表性的三类差分方程，其地位与常微分方程中的贝努里方程、恰当微分方程与存在恰当因子的微分方程相当，而且新差分方程的命名参考了相应的微分方程，所以研究他们很有必要.

普通幂的高阶差分公式非常复杂，而阶乘幂的高阶差分公式却很简单，这就是“阶乘幂方法”具有优越性的根本原因.本文是在研究阶乘幂特别是在研究一般齐次[3]与非齐次差分方程[4]的基础上，来研究特殊差分方程的求解的.由于对阶乘幂的研究中，我们已经得到许多有关离散数据特别是阶乘幂以及高阶差分的许多性质[5]，所以在叙述特殊差分方程的求解时，有关的性质不再加以解释，想了解这些性质的读者可以查文末提供的参考文献.

1 主要结果

下面先给出三类特殊差分方程的定义与定理.

定义1.1 所谓贝努里(Bernoulli)差分方程是指

或者

定理1.2 贝努里差分方程的解为

证明 当k-1时，-k≥1，方程两边乘以即得

△yn+p·yn=q.

其通解为[4]

yn=(1-p)n+qn+c.

由此可得

△yn+p·yn=q.

其通解为[4]

yn=(1-p)n+qn+c.

由此可得

定义1.3 所谓恰当差分方程是

M(n+1)△xn+N(n)xn=0

并且满足条件△M(n)=N(n)，其等价条件为M(n+1)=N(n).

定理1.4 恰当差分方程的解为

证明 由△M(n)=N(n)，则原方程可化为

M(n+1)△xn+xn△M(n)=0.

注意到积的差分公式为△{M(n)N(n)}=M(n+1)△N(n)+N(n)△M(n).即有

△{M(n)xn}=0.

于是

M(n)xn=c.

整理即得

定义1.5 对于原差分方程

M(n+1)△xn+xnN(n)=0.

定理1.6 如果μn为原差分方程的恰当因子，则原差分方程的解为

μnM(n+1)△xn+xn{μnM(n+1)}=0.

μnM(n+1)△xn+xn△{μn-1M(n)}=0.

即

E{μn-1M(n)}△xn+xn△{μn-1M(n)}=0,

△{μn-1M(n)xn}=0,

μn-1M(n)xn=c.

整理即得

2 应用

下面作为定理1.2、1.4、1.6的应用，举一些具体的实例.

解 这是k<0时的贝努里差分方程，其中k=-1,p=-1,q=2.可以直接使用定理1.2的公式得到解.

公式不熟，可以逐步推导：先两边同乘以xn，可得

即

△yn-yn=2.

解得

即xn=(2n+2n+c)1/2.

解 这是k>1时的贝努里差分方程，其中k=3,p=2,q=-1.可以直接使用定理1.2的公式得到解.

△yn+2yn=-1.

于是由参考文献[2]可得

解得

xn={(-1)n-n+c}-1/2

例2.3 求解如下的差分方程：(n+1)2△xn+(2n+1)xn=0.

解记M(n+1)=(n+1)2，N(n)=2n+1，则M(n)=n2.显然满足△M(n)=N(n)，可见是恰当差分方程.由积的差分公式可得

△(n2xn)=0.

于是有

n2xn=c.

解得

例2.4 求解如下的差分方程：

(n+1)△xn+3xn=0.

解 记M(n+1)=n+1，N(n)=3，则M(n)=n.显然不满足△M(n)=N(n)，可见不是恰当差分方程.但是存在μn=n!2=n(n-1)，此时μnM(n+1)=n!2(n+1)=(n+1)!3，μnN(n)=3n!2.显然满足

即△(μn-1M(n))=△(n!3)=3n!2=μnN(n).可见μn=n!2是恰当因子.于是，

△{μn-1M(n)xn}=△{(n-1)!2nxn}=

△{n!3xn}=0.

即有

n!3xn=c.

解得