Toader-Qi平均关于对数和算术平均特殊组合的确界

王君丽 徐会作 钱伟茂

(1.台州科技职业学院 成人教育学院,浙江 台州 318020;2.温州广播电视大学 教师教学发展中心，浙江 温州 325000;3.湖州广播电视大学 继续教育学院,浙江 湖州 313000)

(1)

(2)

祁锋等[2]证明了等式

(3)

和不等式

对所有a,b>0且a≠b成立,其中

(4)

近年来，Toader-Qi平均和其他经典二元平均的比较得到了一定研究,发现了一些有关Toader-Qi平均的重要不等式[4-9].

杨镇杭、褚玉明等[4-5]证明了下列不等式

对所有a,b>0且a≠b成立.

钱伟茂等[10]证明了双向不等式

H[λ1a+(1-λ1)b,λ1b+(1-λ1)a]

G[λ2a+(1-λ2)b,λ2b+(1-λ2)a]

本文的主要结果是发现了最佳参数λ1,λ2,λ3,μ1,μ2,μ3∈R使得双向不等式

对所有a,b>0且a≠b成立，并且推得了第1类修正Bessel函数I0(t)新的确界.

1 引理

为了证明本文的主要结果，本节给出经典Gamma函数Γ(x)、第1类修正Bessel函数Iv(t)的基本知识和相关引理.

熟知Wallis比[11]定义为

其中Γ(n)满足下列公式[12]:

(5)

对所有正整数n成立.

文献[13]给出如下Rayleigh型公式：

(6)

对所有t∈R成立,其中sinh(t)=(et-e-t)/2和cosh(t)=(et+e-t)/2分别是双曲正弦和双曲余弦函数.

引理1.2[15]双向不等式

对所有n∈Ν+成立.

引理1.3[16]双向不等式

对所有t>0和α∈(0,1)成立.

引理1.5[18]252等式(Cauchy乘积公式)

对所有λ,μ>-1和t∈R成立.

引理1.6 等式

(7)

(8)

(9)

对所有t∈R成立.

证明根据引理1.5和等式(5)推得

从等式(6)和引理1.5可得

引理1.7 函数

证明根据等式(5)、式(8)、式(9)和幂级数展开式得到

(10)

其中

(11)

则由等式(11)得到

(12)

(13)

(14)

从引理1.2和等式(13)、式(14)可得

(15)

和

(16)

对所有n∈Ν成立.

根据引理1.1和引理1.4协同等式(15)、式(16)可知函数f(t)在区间(0,+)内严格递减,并且有

(17)

所以,引理1.7容易从等式(10)、式(12)和不等式(17)协同函数f(t)的单调性得到.

引理1.8 函数

证明根据等式(5)、式(7)和幂级数展开式得到

(18)

其中

(19)

则等式(19)协同Wn+2=[(2n+6)/(2n+5)]Wn+3得到

(20)

(21)

(22)

从引理2和等式(21)、式(22)可得

(23)

(24)

对所有n∈Ν成立.

根据引理1.1和引理1.4协同等式(23)和式(24)可知函数g(t)在区间(0,+)内严格递减,并且有

(25)

所以,引理1.8容易从等式(18)、式(20)和不等式(25)协同函数g(t)的单调性得到.

引理1.9 函数

证明根据等式(7)和幂级数展开式得到

(26)

其中

(27)

则等式(27)协同Wn+1=[(2n+4)/(2n+3)]Wn+2得到

(28)

(29)

(30)

从引理1.2和引理1.3协同等式(29)和式(30)可得

(31)

(32)

对所有n∈N成立.

根据引理1.1和引理1.4协同等式(31)和式(32)可知函数h(t)在区间(0,+)内严格递增,并且有

(33)

所以,引理1.9容易从等式(26)、式(28)和不等式(33)协同函数h(t)的单调性得到.

2 主要结果

定理2.1 双向不等式

(34)

(35)

(36)

对所有a,b>0且a≠b成立当且仅当λ10,μ1≥3/4,λ20,μ2≥1/4,λ31/2和μ3≥2/π.

证明不等式(34)—式(36)可写成

(37)

(38)

(39)

(40)

从等式(40)和不等式(37)—式(39)变成

(41)

(42)

(43)

所以,不等式(34)—式(36)容易从引理1.7、引理1.8、引理1.9和不等式(41)—式(43)得到.

根据定理2.1可以得到如下推论1和推论2.

推论1

对所有a,b>0且a≠b成立.

推论2 双向不等式

对所有t∈(0,)成立.