怎样开展圆锥曲线教学

徐李华

圆锥曲线是高中数学解析几何的重要内容，主要包括椭圆、双曲线、抛物线，涉及的概念、公式、性质较多。教师要积极寻找有效的教学策略，采用不同的手段，引导学生牢固掌握圆锥曲线知识，提高解答圆锥曲线问题的能力。

一、建立知识间的联系，帮助学生完善知识体系

由于圆锥曲线中的三种曲线——椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、图形、几何性质等有很多相似之处，所以在讲解圆锥曲线基础知识时，教师要注意讲解它们之间的联系，让学生通过类比、归纳等方法来寻找知识间的相同和不同，明确圆锥曲线各知识点之间的关联，以及相关计算公式的推导原理。例如，在讲解完抛物线的定义后，教师可以首先引导学生回顾椭圆、双曲线的第二定义，并将二者与抛物线的定义放在一起分析，让学生通过类比，分析离心率e<1、e=l、e>1时与椭圆、抛物线、双曲线的对应情况，最后引导学生总结圆锥曲线的统一定义：平面内到一个定点和到一条定直线z的距离的比值等于常数e的点的轨迹。

通过这样的方法，学生不仅了解了三种圆锥曲线之间的联系和区别，还构建了完整的知识体系，大大提升了学习的效率。

二、结合典型例题，传授解题技巧

有关圆锥曲线的问题以计算繁琐而著称，如何提高计算效率，保证解题的正确性，是圆锥曲线习题教学的重要内容。教师首先可以结合代表性较强的例题，向学生传授相关的解题技巧，讲解常规解题方法的应用技巧，然后结合针对性的问题传授简化计算的方法，如利用圆锥曲线的定义、向量、方程、不等式以及相似三角形等知识简化解题的过程，避免繁琐的计算，使学生在解题中少走弯路。

例1.动圆过点（1，0），且与直线x=-1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为——。

解析：看到本题，很多学生首先想到的是通過画图，来分析动圆与定直线之间的位置关系，但是动圆的半径不确定，所以需要先设出圆的标准方程为（x-1）+y=，2，然后根据直线与圆相切建立关系式，消去参数r，最后学生会发现该方法计算繁琐，并且容易出错。这时，教师可以点拨：将圆心看作定点，将直线x=-1看作定直线很快学生就可以发现这与抛物线的定义相一致，于是根据抛物线的定义，很快得出了解题的思路：

设动圆的圆心坐标为（x，y），则圆心到点（1，0）的距离与到直线x=-1的距离相等，根据抛物线的定义易知，动圆圆心的轨迹方程为y=4x。

通过该例题，学生可以意识到，在解答圆锥曲线问题时不仅要重视圆锥曲线定义的应用，而且还应注意简化运算，才能实现高效解题。

三、加强专题训练，提升学生的解题能力

为提高学生的解题能力，教师还应组织学生开展专题训练，使学生在训练中不断积累解题经验，拓展解题的思路，提升解题的水平。圆锥曲线问题一般综合性强，常与其他章节知识，如直线、圆、三角函数、向量等相结合。在授课时，教师应注重筛选代表性较强的问题组织学生进行训练，并引导学生总结问题类型、对应题型的解题技巧与方法，以及简化计算过程的技巧。

例如，在讲解“直线与圆锥曲线的位置关系”的专题时，教师可以首先向学生传授解题技巧：在解答有关直线l与圆锥曲线c的位置关系时，通常将直线l的方程Ax+By+c=O（A不同时为0）代人圆锥曲线c的方程f（x，y）=O，消去y（也可以消去x）得到一个关于变量x（或变量y）的一元方程，消去y，化简得ax+bx+c=0，然后利用根与系数的关系建立方程或者判别式，从而解答相关问题。

通过该训练，学生不仅可以充分掌握解答直线与圆锥曲线位置关系问题的技巧，还能从多个同类问题中寻找最优解题方案，提升解题的效率。

（作者单位：江苏省启东中学）